Verwechselt mit Entropie und Clausius-Ungleichung

Question

Verwechselt mit Entropie und Clausius-Ungleichung

Wb16

Ich bin mit einer Frage in meinem Thermodynamik-Kurs verwirrt und würde gerne um eine Klärung bitten.

Das Problem, das mir gegeben wurde:

Eine reversible Wärmekraftmaschine arbeitet nach einem Carnot-Zyklus zwischen einer Wärmequelle (bei Anfangstemperatur, $T_A$ ) und einem Kühlkörper (bei Anfangstemperatur, $T_B$ ).

Anders als bei den unendlichen Wärmereservoirs enthalten hier Wärmequelle und Wärmesenke ideale Gase mit gleichen endlichen Massen. Nach einer gewissen Zeit gleichen sich die Temperaturen beider Wärmespeicher an $T_2$ . Nehmen Sie für die Umgebung an, dass keine Wärmeübertragung und keine Temperaturänderung stattfindet. Die Drücke beider Wärmespeicher bleiben konstant.

Unter der Annahme, dass alle Prozesse ideal sind,

P R Ö v e : T_{2} = \sqrt{T_{A} T_{B}}

$Prove:\quad T_2=\sqrt{T_AT_B}$

Mein Ansatz:

Unter Verwendung der Clausius-Gleichung eines reversiblen Zyklus,

\frac{D Q}{T} = C Ö N S T A N T

$\frac{dQ}{T} = constant$

\frac{Q_{1}}{T_{1}} = - \frac{Q_{2}}{T_{2}}

$\frac{Q_1}{T_1} = -\frac{Q_2}{T_2}$

\frac{M C_{P} (T_{2} - T_{A})}{T_{2}} = - \frac{M C_{P} (T_{2} - T_{B})}{T_{2}}

$\frac{mC_p(T_2-T_A)}{T_2} = -\frac{mC_p(T_2-T_B)}{T_2}$

\frac{T_{2} - T_{A}}{T_{2}} = \frac{- T_{2} + T_{B}}{T_{2}}

$\frac{T_2-T_A}{T_2} = \frac{-T_2+T_B}{T_2}$

T_{2} = \frac{T_{A} + T_{B}}{2}

$T_2 = \frac{T_A+T_B}{2}$

Die Lösung, die mir gegeben wurde, verwendet die Summierung der Entropie in einem isolierten System.

S_{A} = - S_{B}

$S_A = -S_B$

l N \frac{T_{2}}{T_{A}} = - l N \frac{T_{2}}{T_{B}}

$ln\frac{T_2}{T_A} = -ln\frac{T_2}{T_B}$

\frac{T_{2}}{T_{A}} = \frac{T_{B}}{T_{2}}

$\frac{T_2}{T_A} = \frac{T_B}{T_2}$

T_{2} = \sqrt{T_{A} T_{B}}

$T_2=\sqrt{T_AT_B}$

Meine Frage:

Ist nicht $S_A$ das Gleiche wie $\frac{Q_1}{T_1}$ ob der Prozess reversibel ist? Und wenn ja, warum unterscheidet sich mein Wert? Oder liegt es daran $S_A$ ist aus Sicht des Reservoirs eine Weile $\frac{Q_1}{T_1}$ ist aus Sicht der Wärmekraftmaschine. Daher berücksichtigt die Anwendung der Clausius-Ungleichung nicht die jeweiligen Reservoir-Wärmeübertragungen.

PS Ich bin in diesem Thema ziemlich verloren, würde mich über ein bisschen Hilfe freuen, um meine falschen Annahmen / mein falsches Verständnis hervorzuheben.

hyportnex

Warum denkst du, dass

d S = δ Q / T

$dS=\delta Q/T$ ist eine "Konstante" in einem reversiblen Zyklus? Es stimmt, dass

d S_{A} + d S_{B} = 0

$dS_A+dS_B=0$ aber beide

T

$T$ Und

δ Q

$\delta Q$ sind variabel und können es auch sein

d S

$dS$ .

Bob D

Was ist

T_{1}

$T_1$ in deinem Ansatz?

Chet Miller

Ich denke, Sie stellen sich vor, dass dieser Prozess in einem einzigen Carnot-Zyklus stattfindet, wobei die gesamte Wärme in diesem einen Zyklus (zu jedem Reservoir) übertragen wird. So würde der umkehrbare Prozess für die hier involvierte Änderung nicht durchgeführt. Es gäbe unendlich viele Carnot-Zyklen, in denen jeweils winzige Wärmemengen übertragen werden. In jedem Zyklus würde sich das heiße Reservoir also abkühlen

d T_{H}

$dT_H$ und das kalte Reservoir würde sich erwärmen

d T_{C}

$dT_C$ .

Antworten (1)

Verwechselt mit Entropie und Clausius-Ungleichung

Warum denkst du, dass $dS=\delta Q/T$ ist eine "Konstante" in einem reversiblen Zyklus? Es stimmt, dass $dS_A+dS_B=0$ aber beide $T$ Und $\delta Q$ sind variabel und können es auch sein $dS$ .
Ich denke, Sie stellen sich vor, dass dieser Prozess in einem einzigen Carnot-Zyklus stattfindet, wobei die gesamte Wärme in diesem einen Zyklus (zu jedem Reservoir) übertragen wird. So würde der umkehrbare Prozess für die hier involvierte Änderung nicht durchgeführt. Es gäbe unendlich viele Carnot-Zyklen, in denen jeweils winzige Wärmemengen übertragen werden. In jedem Zyklus würde sich das heiße Reservoir also abkühlen $dT_H$ und das kalte Reservoir würde sich erwärmen $dT_C$ .

Bob D · Answer 1

\frac{M C_{P} (T_{2} - T_{A})}{T_{2}} = - \frac{M C_{P} (T_{2} - T_{B})}{T_{2}}

$\frac{mC_p(T_2-T_A)}{T_2} = -\frac{mC_p(T_2-T_B)}{T_2}$

Das ist falsch. Der Fehler, den Sie bei Ihrem Ansatz machen, besteht darin, anzunehmen, dass die gesamte Wärmeübertragung bei der Endtemperatur erfolgt $T_2$ von Wärmequelle und Senke.

Wärmeübertragung $Q_1$ tritt nicht bei konstanter Temperatur auf. Es tritt über einen Temperaturbereich hinweg auf $T_A$ Zu $T_2$ . Ebenso Wärmeübertragung $Q_2$ tritt über einen Temperaturbereich ab $T_B$ Zu $T_2$ .

Für einen reversiblen Prozess haben wir

Δ S_{A} = - Δ S_{B}

$\Delta S_{A}=-\Delta S_{B}$

und für ein ideales Gas haben wir einen Prozess mit konstantem Druck

$\Delta S_{A}=c_{p}$ ln $\frac{T_2}{T_A}$

Und

$\Delta S_{B}=c_{p}$ ln $\frac{T_2}{T_B}$

l N \frac{T_{2}}{T_{A}} = - l N \frac{T_{2}}{T_{B}}

$ln\frac{T_2}{T_A}=-ln\frac{T_2}{T_B}$

Daraus folgt die Buchlösung.

Hoffe das hilft.

Verwechselt mit Entropie und Clausius-Ungleichung

Wb16

hyportnex

Bob D

Chet Miller

Antworten (1)

Bob D

Wb16

Bob D

Änderung der Entropie der thermodynamischen Umgebung bei isobaren oder isochoren Prozessen

Erhöht sich hier wirklich nicht die Entropie?

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