Was sind die Eigenfunktionen und Eigenwerte eines Möbiusbandes? [geschlossen]

Sie wären einige Wellen (offensichtlich, also können wir sie mit komplexen Exponentialen beschreiben)

$$\psi(x,y) = \exp i(l_xx + l_yy)$$

wobei x die "periodische" Koordinate und y die Breite des Bandes bezeichnet.

es bleibt nur noch, dem Band einige Randbedingungen aufzuerlegen. Nehmen wir an, die Band hat Länge$L$(in x-Richtung), bevor es sich wieder mit sich selbst verbindet. Wir müssen schreiben

$$\psi(x,y) \sim \psi(x+L,y')$$

Genauer gesagt sagt uns das Bild, dass oben nach unten und links nach rechts wird, so dass die richtigen Randbedingungen sind:

$$\psi(x,y) = \psi(x+L,-y) \rightarrow \exp(2il_y y) = \exp(i l_x L) \forall y$$

Auf den ersten Blick sehe ich keine anderen Lösungen als$l_y = 0$Und$l_x = \frac{2\pi n_x}{L}$

Abschluss

Wenn niemand einen Fehler in meiner Argumentation findet, schließe ich daraus, dass die Topologie des Möbiusbandes die Oszillation entlang seines y eliminiert. Schwingungen entlang der x-Richtung sind unproblematisch.

Tatsächlich entspricht dies der Intuition. Nehmen Sie einfach ein Stück Papier und machen Sie daraus ein Möbiusband. Sie werden sehen, dass Sie in seiner y-Richtung aufgrund der Randbedingungen keine Moden (= Krümmungen) erzeugen können !

Nachricht an OP: Danke für die interessante Frage :)

Ich glaube, dass sie in etwa so aussehen

Im Jahr 2006 war ich neugierig auf die normalen Formen von Graphen – als Blätter, Bänder, Röhren usw. Ich faltete die Struktur eines schmalen Graphen-Nanobandes zu einem Möbiusband und versetzte ihm einen „Kick“ mit zufälligen Geschwindigkeiten. Dies sind die resultierenden Störungen, die sich in einer Molekulardynamiksimulation um den Ring ausbreiteten.