Was ist eigentlich der Wellenvektor im Zusammenhang mit Phononen und Gitterschwingung?

In einem Kristallgitter lassen sich Schallwellen von transversalen und longitudinalen Gitterschwingungen durch Exponentialwellenfunktionen beschreiben$\vec {s}=\vec {s_0} exp{i(\omega t-\vec {k}\vec{r})}$genau wie Schallwellen im Kontinuumsmodell von Festkörpern. Die Gitterverschiebungen$\vec {s}$sind natürlich auf die Gitteratome beschränkt. Eine ähnliche Wellenlösung findet sich zB bei linear-mechanischen Kettenmodellen von Kugeln, die durch Federn verbunden sind. Der Wellenvektor$\vec {k}$stellt die Wellenlänge dar$\lambda=\frac{2 \pi}{|\vec {k}|}$dieser Gitterschwingungsmoden. Das Momentum$\vec {p}$der Phononen, der quantisierten Gitterschwingungen, mit dem Wellenvektor in Beziehung steht$\vec {p}=\hbar\vec{k}$und die Energie$E$von$E=\hbar \omega$. Wellenvektoren$k$in Richtung einer Achse mit Gitterkonstante$a$kann als auf eine Brillouin-Zone beschränkt angesehen werden$[-\frac{\pi}{a},\frac{\pi}{a}]$weil ein Wellenvektor$k+\frac{2\pi}{a}$beschreibt die gleichen Gitterverschiebungen wie k. Daher können aufgrund der periodisch diskreten Gitterpositionen der Atome Wellenvektoren außerhalb dieser Zone als äquivalent zu einem Wellenvektor in der Brillouin-Zone angesehen werden. Die Dispersionsbeziehungen$\omega(\mathbf{k})$haben normalerweise mehrere Zweige für die longitudinalen und transversalen akustischen Wellen. Ihre Steigungen bei tiefen Frequenzen und Wellenvektoren geben die Schallgeschwindigkeiten von akustischen Transversal- und Longitudinalwellen an. Es gibt auch Verzweigungen bei höheren Frequenzen, die Schwingungen entsprechen, bei denen benachbarte Atome gegeneinander schwingen. Diese Moden werden optische Phononen genannt, weil sie in polaren Kristallen zur Absorption von Infrarotlicht führen.

Hinweis: Prinzipiell kann man Gitterschwingungen bei jeder Frequenz anregen$\omega$und erhalten Sie die entsprechenden$\vec {k}$aus den Dispersionsbeziehungen. (Falls für die gegebenen Frequenzen Lösungen der Dispersionsbeziehungen existieren.)

Nimm irgendeinen Kristall und lege ihn auf einen Tisch. Jetzt schlagen Sie es an einem Ende. Schallwellen wandern von diesem Ende zum Rest des Kristalls.$\bf k$ist der Wellenvektor dieser Schallwellen. Seine Richtung ist in Laufrichtung der Wellenfronten; seine Größe ist$2\pi/\lambda$Wo$\lambda$ist die Wellenlänge.

Die Frequenz hängt mit der Wellenzahl für jede Wellenbewegung zusammen. Zum Beispiel für Lichtwellen im Vakuum,$\omega = c k$; für Wasserwellen bei mäßiger Geschwindigkeit$v$hat man$\omega = v k$, und für höhere Geschwindigkeiten ist die Formel komplizierter. Der Hauptpunkt ist, dass Wellen unterschiedlicher Wellenlänge normalerweise auch unterschiedliche Frequenzen haben.

Sie mögen denken, dass diese Antwort zu einfach ist, aber das ist sie wirklich nicht. Wie Sie in Ihrer Frage sagen, haben Sie Atome oder Moleküle auf einem Gitter, die um ihre Gleichgewichtspositionen schwingen. Das ist, was du hast, und das ist alles, was du hast. Der Grund, sich auf Wellenbewegungen einer bestimmten Frequenz zu konzentrieren, ist, dass es sich um eine natürliche Bewegung handelt, die die Atome annehmen könnten, und eine bequeme, um kompliziertere Bewegungen zu analysieren. Beispielsweise werden für kleine Bewegungsmengen und schwache Bindung die verschiedenen Normalmoden in erster Näherung entkoppelt, und das macht sie so nützlich. Sie bieten eine bequeme Fourier-Analyse der vollständigen Bewegung.

Das Hauptproblem, das ich ausgelassen habe, ist die Quantenbehandlung der Schwingungen, aber man muss zuerst das klassische Problem lösen, um zu verstehen, was die Quantenmechanik sagt. Auch für ein diskretes Gitter, wenn die Wellenlänge klein wird (also die Wellenzahl hoch ist), findet man keine neuen Bewegungen mehr, sondern nur eine Wiederholung der Bewegungen bei längerer Wellenlänge. Dies führt zum Konzept der Brillouin-Zonen.

Der Wellenvektor ergibt sich aus der Periodizität des Systems. Hier wird die Translationssymmetrie in Einheiten von Gittervektoren diskretisiert, z$a$. Die Eigenzustände der Gitterschwingung$u(R,t;k)$sind auch Eigenzustände des Translationsoperators$T$, wobei der translatorische Eigenwert mit bezeichnet ist$\lambda = e^{ika}$,

$k$beschreibt das räumliche Profil der Gitterschwingung. Die Frequenz$\omega$sind Eigenwerte des Hamiltonoperators, der die Dynamik des Systems bestimmt, die normalerweise vom räumlichen Profil abhängt. Daher wird erwartet, dass die Frequenz eine Funktion des Wellenvektors ist.