Warum sind Schallwellen Moden zugeordnet, die einer linearen Dispersionsbeziehung gehorchen?

Update zur Verdeutlichung der Dispersionsbeziehung für eine eindimensionale Kette von Atomen mit jeweils einer Masse M und durch identische Federn mit konstanter Kraft aneinander befestigt K (der für ein kontinuierliches Medium zum Kompressionsmodul wird, der seine elastische Eigenschaft darstellt) ist gegeben durch

(1) ω ( k ) = 2 K M | Sünde ⁡ ( k A 2 ) | .
Hier A bezeichnet den Gleichgewichtsabstand zwischen den Atomen.

Wir bemerken, dass die Dispersionsrelation (1) nicht linear ist. Für langwellige Moden wird Gleichung (1).

(2) ω = K M ( | k | A ) ,
und es ist ein Standardtrick, die Schallgeschwindigkeit aus (2) mit der Formel abzulesen C S = ω / k . Als Referenz siehe Ashcroft und Mermin, Gl. 22.29 und 22.31.

Fragen

∙ Bedeutet dies, dass die kleinen Wellenlängenmoden, die Gleichung (1), aber nicht Gleichung (2) erfüllen, nicht die Träger der Schallwelle sein können?

∙ Warum anstatt (1) zu linearisieren, die Gruppengeschwindigkeit berechnen D ω D k und das der Schallgeschwindigkeit zuschreiben?

So können Sie vielleicht kurz erläutern, wie Sie eine Federkonstante sehen K und eine Masse M kann möglicherweise in die Physik der Schallwelle eintreten?
Ich würde wirklich gerne den Grund für die Ablehnungen wissen.
Ich bin nicht derjenige, der abgelehnt hat, daher kann ich nicht antworten, aber Ihrer Frage ist schwer zu folgen: Für eine 1d-Atomkette wäre die Welle quer, aber der Ton ist längs, sodass die beiden Situationen nicht sehr übereinstimmen, und meine Originalkommentar steht: Wie genau siehst du die Verbindung zwischen Atomen, die durch Federn und Schallwellen verbunden sind?
Mir ist gerade aufgefallen, dass ich falsch an Ihre Kette gedacht habe (natürlich kann sie quer sein), aber die Frage bleibt: Was ist das Analogon von K in Schallwellen?
@ZeroTheHero Die Atome bewegen sich in Ausbreitungsrichtung der Welle. Warum sollte die Welle transversal sein? Außerdem ist es der Standardtrick, die Dispersionsrelation für die einatomige Kette zu linearisieren und daraus die Schallgeschwindigkeit abzulesen.
Das Analogon von K für Schallwellen in einem kontinuierlichen Medium ist seine elastische Konstante wie der Kompressionsmodul und das Analogon von m ist die Dichte dieses Mediums. In meinem Fall ist das Medium ein diskretes.

Antworten (2)

Ihre Frage scheint die Prämisse zu haben: "Die Schallgeschwindigkeit ist per Definition konstant. Wenn sich also hochfrequente Phononen deutlich schneller oder langsamer als niederfrequente Phononen bewegen, müssen diese hochfrequenten Phononen keine Schallwellen sein."

Nun, ich bin mit der Prämisse nicht einverstanden. Die Schallgeschwindigkeit ist frequenzabhängig. Ich habe dies explizit und implizit in Worten und Zahlen immer und immer wieder in unzähligen verschiedenen Quellen festgestellt. Ich denke nicht, dass es umstritten ist.

Warum linearisieren sie dann im Buch von Ashchroft und Mermin (1) und definieren die Schallgeschwindigkeit als Konstante? @Steve Byrnes
Beziehen Sie sich auf (22.31)? "Diese [lineare Beziehung] ist die Art von Verhalten, an die wir bei Lichtwellen und gewöhnlichen Schallwellen gewöhnt sind." Wenn ja, denke ich, dass Sie zu viel in dieses Zitat hineininterpretieren. Bei den „gewöhnlichen Schallwellen“ in der Luft, die wir im Alltag erleben, ist die Schallausbreitung meist nicht wahrnehmbar, so dass wir „gewöhnt“ sind, an eine konstante (frequenzunabhängige) Schallgeschwindigkeit zu denken … obwohl wir in Wirklichkeit alle wissen, dass es nie genau konstant ist.

Es scheint, dass Sie Ihre eigene Frage beantwortet haben, da für kleine Argumente Sünde ⁡ ( k A / 2 ) ≈ k A / 2 . Daher ist die Physik Ihres Systems so, dass die von Ihnen angegebene Dispersionsbeziehung genau eine langwellige Grenze ist.

Dispersionsbeziehungen sind selten genau linear, aber gewöhnlich nur in einem bestimmten Grenzbereich linear. Beispielsweise ist die Dispersionsrelation für eine Klaviersaite von der Form

ω 2 k 2 = T 0 ρ 0 + a k 2
Wo T 0 ist die Spannung in der Saite, ρ 0 ist die Massendichte und a wäre eine kleine positive Konstante 0 wenn die Saite perfekt flexibel wäre. Man erhält die üblichere lineare Dispersionsrelation, indem man die vernachlässigt a k 2 .

Daher ist die von Ihnen angegebene Dispersionsrelation nur der dominierende Teil der vollständigen Dispersionsrelation und nicht die genaue Relation.

Wenn Sie Schall in einem Gas betrachten, ist die Physik natürlich anders, da Atome in einer Kette um eine Position herum fixiert sind, Moleküle in einem Gas jedoch nicht. Betrachtet man solide, typische Werte von A (was der Abstand zwischen Atomen in der Kette wäre) sehr klein und Werte von k = 2 π / λ in der Größenordnung der inversen Länge der Kette liegen, also ebenfalls klein. dh die längsten Wellenlängen, die Sie in Ihre Kette einbauen können, sind die Reihenfolge der Kette selbst. Beide Argumente weisen darauf hin k A / 2 typischerweise ziemlich klein und rechtfertigen daher die Annäherung Sünde ⁡ ( k A / 2 ) ≈ ka/2$.

Warum sind Schallwellen Moden zugeordnet, die einer linearen Dispersionsbeziehung gehorchen?
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