Beweis, dass 1d-Gitterverschiebung durch Phononen gegeben ist un±1(t)=Akeiωkteiknde±ikdun±1(t)=Akeiωkteiknde±ikdu_{n\pm 1}(t) = A_ke^{i\omega_k t} e^{i knd}e^{\pm ikd}

Question

Beweis, dass 1d-Gitterverschiebung durch Phononen gegeben ist un±1(t)=Akeiωkteiknde±ikdun±1(t)=Akeiωkteiknde±ikdu_{n\pm 1}(t) = A_ke^{i\omega_k t} e^{i knd}e^{\pm ikd}

Phononen
Physik
Kristalle
kondensierte Materie
Fourier-Transformation
Festkörperphysik

Mikkel Rev

Ich habe in «Kittel - Einführung in die Festkörperphysik», Wikipedia und Google nach der Ableitung gesucht, dass: Ein Phonon der Wellenzahl $k$ verdrängt die $s$ -ten Atom in einem monoatomaren 1d-Kristallgitter mit Abstand $u(s,k)$ gegeben von:

u_{N \pm 1} (T) = A_{k} e^{ich ω_{k} T} e^{ich k N D} e^{\pm ich k D}

$u_{n\pm 1}(t) = A_ke^{i\omega_k t} e^{i knd}e^{\pm i k d}$ Die ersten beiden der oben genannten Quellen schreiben die Bewegungsgleichung auf

M \frac{\partial^{2}}{\partial T^{2}} u_{S} = C (u_{S + 1} + u_{S - 1} - 2 u_{S}),

$m \frac{\partial ^2}{\partial t^2}u_s = C(u_{s+1} + u_{s-1} - 2u_{s}),$ Wo

m

$m$ ist die Masse der

s

$s$ -Atom und

C

$C$ ist die Federkonstante.

Kittel fährt dann fort, indem er einfach die Lösung aufschreibt, ohne die Mathematik zu durchlaufen, und sagt, dass es die Lösung einer Differenzengleichung ist. Wikipedia hingegen entschuldigt sich mit «Dies erfordert eine erhebliche Manipulation unter Verwendung der Orthonormalitäts- und Vollständigkeitsbeziehungen der diskreten Fourier-Transformation» und kneift dann, indem es die Lösung aufschreibt. Aber das Internet muss den Beweis sehen.

Ich hoffte, dass jemand freundlicherweise die obige Formel hoffentlich gründlich beweisen würde, indem er erste Prinzipien aus der Analysis, der Fourier-Analyse, der reellen Analyse, der klassischen Mechanik, der Newtonschen Mechanik, der linearen Algebra, der Theorie der Ode und der Differenzengleichungen verwendet. Ich habe die Fourier-Analyse seit etwa einem Jahr nicht mehr verwendet. Wenn also Theoreme verwendet werden, wäre es großartig, dies in der Ableitung zu markieren. Mir scheint, dass eine Möglichkeit darin besteht, die Fourier-Analyse zu überspringen und stattdessen die Ode- und Differenzgleichung zu lösen, aber ich weiß nicht, wie ich das machen soll.

Dies ist die VOLLSTÄNDIGE Beschreibung des Problems.

Kyle Kanos

Wird die Exponentialfunktion nicht über Testfunktionen gefunden ? Oder verstehe ich das falsch, was dich verwirrt?

Benutzer10851

Dies ist ein Standardproblem der Wellenmechanik, von dem ich zu 99% sicher bin, dass es zB in Waves von Crawford behandelt wird, wenn Sie eine Referenz wünschen.

Jon Kuster

Ashcroft und Mermin waren damit ziemlich unkompliziert.

Antworten (2)

Beweis, dass 1d-Gitterverschiebung durch Phononen gegeben ist un±1(t)=Akeiωkteiknde±ikdun±1(t)=Akeiωkteiknde±ikdu_{n\pm 1}(t) = A_ke^{i\omega_k t} e^{i knd}e^{\pm ikd}

Wird die Exponentialfunktion nicht über Testfunktionen gefunden ? Oder verstehe ich das falsch, was dich verwirrt?
Dies ist ein Standardproblem der Wellenmechanik, von dem ich zu 99% sicher bin, dass es zB in Waves von Crawford behandelt wird, wenn Sie eine Referenz wünschen.

AG · Answer 1

Ich denke, wie Peter Diehr es ausdrückte, es wäre am besten, wenn Sie Ihren Bleistift herausnehmen würden. Um Ihnen dabei zu helfen, habe ich die folgenden Fragen formuliert, um Sie durch das Problem zu führen:

Vorarbeiten:

Wofür ist die diskrete Fourier-Transformation definiert? $u_n$ ?

Eigentlich gibt es Wikipedia:
$u_{N} (T) = \sum_{k = 1}^{N} U_{k} (T) e^{ich k N D}$ $u_n(t) = \sum_{k=1}^{N} U_k(t)~ e^{iknd}$

2) Was ist die Definition der inversen Transformation (dh $U_k = f(u_n)$ ?

Wikipedia gibt es auch (braucht nur eine kleine Änderung, um es an unser Problem anzupassen): https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform
$U_{k} (T) = \frac{1}{N} \sum_{N = 1}^{N} u_{N} (T) e^{- ich k N D}$ $U_k(t) = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} u_n(t)~ e^{-iknd}$

Was ist die periodische Bedingung für die Position (entscheidend)? Wir nehmen an, dass die Atome gleichmäßig verteilt sind (die durchschnittlichen Positionen zweier aufeinanderfolgender Atome sind durch einen Abstand getrennt $d$ , daher die $d$ in der Wikipedia-Definition der Fourier-Transformation).

Ohne Periodizität würde die Fourier-Transformation keinen Sinn machen.

$x(1)=0=x(d(N+1)) \Rightarrow \exp(-ix(1))=\exp(-ix(d(N+1)))=1$ . Eigentlich ist es besser, die Fourier-Transformation mit zu schreiben $\exp\left(\frac{-2i\pi nd}{N}\right)$ als mit $e^{iknd}$ um die Periodizität klar auszudrücken (dasselbe gilt für die inverse Transformation). Außerdem ist es üblicher, die Summe auszudrücken $0$ Zu $N-1$ anstatt $1$ Zu $N$ .

4) Orthogonalitätsbedingung: Was ist das Ergebnis der folgenden Summe?

\frac{1}{N} \sum_{N = 0}^{N - 1} \exp (- ich k N D) \exp (- ich k^{'} N D)

$\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \exp(-iknd) \exp(-ik' nd)$

Tipp: Zwei Fälle: a) $k=k'$ und B) $k\neq k'$ (Geometrische Reihe verwenden)

Zurück zum Problem:

Unter Verwendung der Fourier-Transformation von $u_n$ und die Bewegungsgleichung sollten Sie erhalten (einfache komplexe Trigonometrie - bitte entschuldigen Sie das Wortspiel - und Substitution):

2 C \sum_{k = 1}^{N} U_{k} (\cos (k D) - 1) \exp (ich k N D) = M \sum_{k = 1}^{N} \frac{D^{2} U_{k}}{{D T}^{2}} \exp (ich k N D)

$2 C \sum_{k=1}^{N} U_k ~ \left(\cos(kd) - 1\right) ~ \exp(iknd) = m~\sum_{k=1}^{N} \frac{d^2U_k}{{dt}^2} \exp(iknd)$

Verspüren Sie auch den Drang, das Summationssymbol herauszunehmen? Hier kommt die Orthogonalität ins Spiel! Eigentlich müssen Sie, um das Summationssymbol herauszunehmen, ... summieren.

Schritt 1: Multiplizieren Sie die Gleichung mit $\exp(-ik'nd)$

Schritt 2: Welche Summierung sollen wir machen? Es ist besser, wenn Sie es ohne einen Blick auf den Spoiler herausfinden --- denken Sie an unsere Vorarbeiten, insbesondere Frage 4).

$\sum_{n=1}^{N}$ auf beiden Seiten => Orthogonalität hinterlässt ein Ergebnis, die Gleichung für $k=k'$

Endgültige Lösung :

Lösen :

2 C U_{k} (\cos (k D) - 1) = M \frac{D^{2} U_{k}}{{D T}^{2}}

$2C~U_k ~ \left(\cos(kd) - 1\right) = m~ \frac{d^2U_k}{{dt}^2}$

Wikipedia gibt die Antwort: https://en.wikipedia.org/wiki/Phonon . Vergiss das nicht $kd$ ist eine Konstante für ein Gegebenes $k$ (also für jede Gleichung).

Bearbeiten (um diese Frage zu lösen):

Die Lösung ist also natürlich von der Form:

U_{k} = A_{k} e^{ich ω_{k} T}

$U_k = A_k e^{i\omega_kt}$

Und wenn das System bei einer seiner normalen Moden (Frequenzen $\nu_k = \frac{\omega_k}{2\pi}$ ) reduziert sich die Verschiebung auf nur eine Komponente :

u_{N} = A_{k} e^{ich (ω_{k} T + k N D)}

$u_n = A_k e^{i \left(\omega_k t + knd \right)}$

und es gibt eine Phasenverschiebung von $e^{\pm ikd}$ zwischen zwei aufeinanderfolgenden Knoten der Kette.

u_{N + 1} = u_{N} e^{ich k D}

$u_{n+1}=u_n e^{ikd}$

Danke, ich möchte dies als Antwort akzeptieren. Es hat Spaß gemacht, alles durchzugehen und zu hoffen, dass andere dasselbe tun. Nur um sicherzugehen, dass ich das richtig verstanden habe, wir sind uns einig $U_k(t) = A_k e^{i\omega t}$ für jede Wellenzahl $k$ . Nehmen wir jedoch an, Schwingungen seien sinusförmig und setzten sich aus genau einer Wellenzahl zusammen $k$ , Dann $u_{n\pm 1} = \sum_{j=k}^k A_j e^{i\omega_j t} e^{i (n\pm 1)j d} = A_ke^{i\omega_k t} e^{i knd}e^{\pm i k d}$ ? Wenn das richtig ist, vielleicht der Antwort hinzufügen? So kommen wir zu der Gleichung im Titel und der, die Kittel angibt. Sind Sie einverstanden? Vielen Dank für Ihre Zeit.
Ok, ich habe die Antwort auf diesen Kommentar zur Hauptantwort hinzugefügt. Also, ich stimme dem zu, was Sie gesagt haben. Diese Antwort soll Sie dazu bringen, mit DFT zu üben und (nur Fourier-Transformation) zu verstehen, wie Sie das nächste Mal alleine fischen können - plus einige Überlegungen zu den periodischen Bedingungen des Problems. Und es war mir ein Vergnügen.

Peter Diehr · Answer 2

Peter Diehr

Sie beginnen damit, die Wiederholungsrelation zu lösen; das kann ziemlich chaotisch werden, und Kittel überspringt es, da es nicht zur physischen Diskussion beiträgt. Die Physik wurde bereits in der Entwicklung der Gleichung erfasst.

Alles über das Lösen von Wiederholungsbeziehungen: < https://en.m.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation >

Mikkel Rev

Diese Antwort ist nicht hilfreich, aber ich kann Sie nicht ablehnen, da meine Bewertung zu niedrig ist. Das Problem ist zunächst, dass ich Ihnen nicht glaube, lassen Sie mich Ihnen erklären, warum das so ist. Die Lösung der Vorkommensrelation ist

u_{s} = r_{\pm}^{s}

$u_s = r_\pm^s$ Wo

r_{\pm} = \frac{m ω^{2}}{2 C} \pm \sqrt{(\frac{m ω^{2}}{2 C})^{2} + \frac{m ω^{2}}{C}}

$r_\pm = \frac{m \omega^2}{2C} \pm \sqrt{(\frac{m \omega^2}{2C})^2 +\frac{m \omega^2}{C}}$ . Wenn Sie einen Bleistift herausnehmen, werden Sie feststellen, dass sich das irgendwie beweisen muss

r_{\pm} = \exp (\pm i k a)

$r_\pm = \exp(\pm ika)$ . Fühlen Sie sich frei, dies zu verwenden, um sich zu beweisen.

Mikkel Rev

Eigentlich ist da ein Tippfehler, sollte es sein

r_{\pm} = 1 - \frac{m ω^{2}}{2 C} \pm \sqrt{(\frac{m ω^{2}}{2 C})^{2} + \frac{m ω^{2}}{C}}

$r_{\pm} = 1- \frac{m \omega^2}{2C} \pm \sqrt{(\frac{m \omega^2}{2C})^2 + \frac{m \omega^2}{C}}$ . Tut uns leid, aber Sie können diese Informationen gerne verwenden, um uns zu zeigen, dass Sie richtig liegen.

Peter Diehr

Ahhh ... Du darfst gerne deinen eigenen Bleistift zücken. Meiner Erfahrung nach lernt man durch eigene Arbeit. Ich lobe Sie dafür, dass Sie die vollständige Herleitung sehen wollen. Posten Sie erneut und zeigen Sie, wo Sie stecken bleiben.

Beweis, dass 1d-Gitterverschiebung durch Phononen gegeben ist un±1(t)=Akeiωkteiknde±ikdun±1(t)=Akeiωkteiknde±ikdu_{n\pm 1}(t) = A_ke^{i\omega_k t} e^{i knd}e^{\pm ikd}

Mikkel Rev

Kyle Kanos

Benutzer10851

Jon Kuster

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AG

Mikkel Rev

AG

Peter Diehr

Mikkel Rev

Mikkel Rev

Peter Diehr

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