Frage zur Quantisierung von Gitterschwingungen (Phononen)

In meinem Lehrplan über Festkörperphysik heißt es, dass die Gitterschwingung quantisiert ist, analog zum harmonischen Oszillator:

E = ( N + 1 2 ) ℏ ω
Die Gitterschwingung hat also Nullpunktsenergie 1 2 ℏ ω .

Ich frage mich, was das eigentlich bedeutet: Sind alle möglichen Schwingungsmoden des Gitters auf diese Weise quantisiert? Haben also alle Schwingungsmoden (akustisch/optisch und transversal/longitudinal) für alle möglichen Wellenvektoren eine Energie ungleich Null k → im Brillouin-Gebiet? Wenn ich also diese Quantisierung so interpretiere, bedeutet das, dass das Gitter zu jeder Zeit in allen möglichen Schwingungsmodi schwingt.

Im Lehrplan heißt es allerdings (etwas früher (und ins Englische übersetzt)): „Die Schwingungsmoden sind nur bei ausreichender Symmetrie rein longitudinal oder transversal, z. B. in einigen Richtungen einer kubischen Kristallstruktur. Ansonsten bestehen die Wellen aus eine Mischung aus beidem." (Ich denke, dass sich dies auf die Richtung [100] in einem kubischen Kristall bezieht.)

Dies scheint der Vorstellung zu widersprechen, dass Längs- und Quermoden eine Nullpunktsenergie haben sollten. Ich hoffe, dass das jemand klären kann.

Es tut mir leid, aber ich kann Ihr Zitat nicht verstehen. Kannst du versuchen, es zu klären?
Ich habe versucht, es zu klären, ich hoffe, es ist jetzt besser. Das Originalzitat ist auf Niederländisch, aber ich sehe, dass Sie in Amsterdam leben, also werden Sie es wahrscheinlich verstehen (entschuldigen Sie, wenn dies nicht der Fall ist). Daher möchte ich wörtlich zitieren, was der Autor schrieb: "Enkel in een situatie met voldoende hoge symmetrie, zoals in bepaalde richtingen van een kubisch kristal zijn de trillingen zuiver longitudinaal of transversaal; in minder symmetrische situaties treden gemengd longitudinale/transversale golven op"

Antworten (1)

In der klassischen Mechanik können Sie einen Kristall (in einiger Näherung) durch einen Hamiltonoperator beschreiben, der eine quadratische Form in Koordinaten und Impulsen von Atomen hat. Nachdem Sie diese quadratische Form diagonalisiert haben, erhalten Sie einen Hamilton-Operator eines Satzes unabhängiger statt gekoppelter Oszillatoren (Modi). Dann können Sie dieses System quantisieren und erhalten für jeden unabhängigen Modus eine Nullpunktsenergie (diese Energie ist übrigens 1 2 ℏω, nicht ℏω). Jedoch sind nicht alle unabhängigen Moden rein longitudinal oder transversal. Mit anderen Worten, Longitudinalmoden sind oft mit Transversalmoden gekoppelt und daher keine unabhängigen Moden, die Sie als Ergebnis der Diagonalisierung erhalten. Mit anderen Worten, Längs- und Quermoden sind einige lineare Überlagerungen unabhängiger Moden (die auch Eigenmoden oder charakteristische Moden oder Normalmoden genannt werden :-) ).

Danke, ich glaube, ich fange an, es ein wenig zu verstehen. Ich frage mich, ob es welche gibt P Atome in einer primitiven Zelle, dann gibt es sie 3 P Moden (transversal und longitudinal) für jeden Wellenvektor k → das ist erlaubt. Gibt es auch 3 P Normalmoden pro Wellenvektor? Kann ich also sagen, dass es für jeden Wellenvektor gibt 3 P Normalmoden, das sind lineare Überlagerungen der 3 P Transversal- und Longitudinalmodus? Also mit N Atome im Gitter (d.h N zulässige Wellenvektoren), gibt es 3 P N normale Modi? (Das mag trivial sein, aber für mich ist es im Moment ziemlich schwer zu sagen)
Ich verstehe es nicht ganz. Soweit ich weiß, wird die Anzahl der Moden typischerweise für den Kristall als Ganzes gezählt. Wenn Sie haben N Atome im Kristall, jedes Atom hat 3 translatorische Freiheitsgrade, also hat der Kristall 3 N relevante Freiheitsgrade, also die Anzahl der Phononenmoden, ist 3 N − 6 (wir müssen 6 = 3 Translationen des Kristalls als Ganzes + 3 Drehungen des Kristalls als Ganzes abziehen - pit.physik.uni-tuebingen.de/PIT-II/teaching/… ) Ich kann Ihnen jetzt nicht sagen, ob oder wie Rotationsfreiheitsgrade von Atomen relevant sind.
Ich lag falsch: N steht für die Menge primitiver Zellen. Mein Lehrplan erwähnt, dass es welche gibt N zulässige Wellenvektoren für Schwingungsmoden in der Brillouinzone. Außerdem, wenn es gibt P Atome in einer primitiven Zelle, sollte es geben 3 P Zweige der Dispersionsrelation (Ihr Dokument erwähnt dies auch auf S.92). Sollte es also geben 3 P N Schwingungsarten: 2 P N quer u P N längs. Aber wenn ich es aus Ihrer Antwort richtig verstanden habe, sind die normalen Modi nicht diese Art von Modi, weil sie Überlagerungen davon sind? Es würde also logisch klingen, wenn es welche gibt 3 P N normale Modi.
Ich bin also wirklich verwirrt, um Folgendes klarzustellen: Was genau ist quantisiert, wenn wir über Phononen sprechen? Und wenn wir über ein Phonon mit Wellenvektor sprechen K → Was sind dann die möglichen Frequenzen des Phonons? Können wir die auf Seite 90 des von Ihnen verlinkten Dokuments gezeigten Dispersionsbeziehungen fi verwenden? Wenn ich es richtig verstehe, können wir das nicht, denn wenn wir von Phononen sprechen, sprechen wir von Überlagerungen von Moden mit Wellenvektor K → aber andere Frequenzen. Die sogenannten "Phononen-Dispersionsbeziehungen" sind also völlig andere Dispersionsbeziehungen?
@Rayman: Leider habe ich keine Zeit, Ihre Notation zu sortieren, sorry. Ich habe dir gesagt, wie man die Freiheitsgrade eines Kristalls (3N) und die Phohon-Freiheitsgrade (3N-6) zählt. Es gibt also (nach Diagonalisierung) 3N-6 unabhängige (entkoppelte) Phononmoden. Einige davon sind keine reinen Längs- oder Querschwingungen, sondern Überlagerungen von Längs- und Querschwingungen. Wenn Sie also wissen, wie man die Quantisierung für einen unabhängigen Oszillator durchführt, können Sie die Quantisierung für (3N-6) unabhängige Oszillatoren durchführen.
Vielen Dank für Ihre Mühe. Ich verstehe es aber immer noch nicht. Sie widersprechen einigen Quellen, die behaupten, dass dies der Fall ist 3 N Phonon-Modi und nicht 3 N − 6 , einschließlich des von mir verwendeten Lehrplans. Fi www-personal.umich.edu/~sunkai/teaching/Winter_2013/… p.23.
@Rayman: Dein Link scheint tot zu sein. Ich gab eine Quelle und Erklärungen für 3 N − 6 . Außerdem schätze ich, dass einige Leute einfach schreiben 3 N Weil N ist normalerweise viel größer als Eins, sodass Sie 6 im Vergleich zu vernachlässigen können 3 N .
Frage zur Quantisierung von Gitterschwingungen (Phononen)
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