Anzahldichte von LO- und LA-Phononen als Funktion der Temperatur?

Ich würde gerne wissen, wie sich die Anzahldichte von longitudinalen optischen (LO) und longitudinalen akustischen (LA) Phononen in Abhängigkeit von der Temperatur des Materials ändert. Gibt es einen einfachen Ausdruck für diese beiden Fälle?

Ich vermute, dass das funktionieren würde,

N L Ö = ∫ g L Ö ( E ) f ( E , T ) d E

N L EIN = ∫ g L EIN ( E ) f ( E , T ) d E

wo g ( E ) ist die Zustandsdichte für LO- und LA-Phononen und f ist die Bose-Einstein-Verteilung. Was wären geeignete Grenzen für die Integrale? Kennt jemand eine Referenz, in der die Zustandsdichte für diese beiden Modi angegeben ist?

BEARBEITEN

Um die Frage zu verbessern, interessiere ich mich für 3D-Halbleiterkristalle. Aber vielleicht habe ich das zu lange stehen gelassen, sorry.

Mit freundlichen Grüßen,

Sicher scheint mir richtig. Natürlich erlaubt die Bose-Einstein-Verteilung Besetzungszahlen größer als eins.
Frage Nummer eins: Wollen Sie experimentelle oder theoretische Ergebnisse? Frage Nummer zwei: Welche Art von Materialien? Reine Kristalle, Kristalle mit Defekten, beliebige Festkörper?
@Marek; Es scheint mir, dass die Gleichungen unabhängig vom Material funktionieren sollten. Können Sie mich diesbezüglich korrigieren? Ich denke, dass sie einfach anders haben würden g ( E ) .
@Carl: Wollen Sie damit sagen, dass die Temperaturabhängigkeit für jedes Material nur im Bose-Einstein-Teil der Formel vorhanden ist? Diese Aussage erscheint recht unspektakulär und ist wahrscheinlich auch falsch.
@Marek; Oh nein, ich verstehe was du meinst. Ja, natürlich wird es eine T-Abhängigkeit von beiden geben.
@Karl: stimmt. Aber ich verstehe immer noch nicht, was OP hinterher ist. Ob nach theoretischer Herleitung von g basierend auf einem Spielzeugmodell oder experimentellen Daten g für einige Materialklassen.
Es ist nie zu spät, eine Antwort zu versuchen ;-)
Ich denke, dass optische Phononen allzu hochfrequent sind, um bei normalen Temperaturen nennenswerte Anregungen zu haben (da sie optisch angeregt werden, benötigen sie also eine Temperatur, die sichtbare Planck-Strahlung hat), und Sie können einfach das Standard-Debye-Spektrum für die lange Zeit nachschlagen akustische Phononen der Wellenlänge bei Temperatur T. Ihr Ausdruck ist korrekt, aber die Zustandsdichte optischer Phononen ist nur sehr weit von Nullenergie entfernt ungleich Null, während akustische Phononen eine Potenzgesetzdichte von Zuständen nahe Nullenergie haben, sodass sie ein Debye-Spektrum erhalten.
@RonMaimon - Phononen bis zu 25 meV können durch thermische Energien angeregt werden, sodass optische Phononen bei Raumtemperatur einen nennenswerten Beitrag zur Phononen-DOS leisten. Darüber hinaus resultiert das "Optische" im optischen Phonon aus der Kopplung von Licht an das oszillierende Dipolmoment der beteiligten Ionen, das deren Detektion ermöglicht - nicht nur aus der Fähigkeit, durch Licht aktiviert zu werden. Ferner wird „optisch“ allgemeiner verwendet, um „nicht-akustisch“ zu charakterisieren, sodass sogar nicht-Raman-aktive Moden diesen Spitznamen tragen.
"Was sind geeignete Grenzen für diese Integrale?" Sie scheinen zu denken, dass es Phononenfrequenzen von 0 bis unendlich gibt? Tatsächlich überspannen sie nur einen endlichen Bereich, dh jeder Kristalltyp hat eine endliche maximale Phononenfrequenz. Sie sollten über diesen gesamten endlichen Bereich integrieren. (Sie sind natürlich berechtigt, einen Teil des Bereichs zu ignorieren, wenn g*f dort ausreichend nahe bei Null liegt.)
Jedes Mal, wenn die Community dies auf die Titelseite zurückbringt, höre ich die Doors ihre Hitsingle „LA Phonon“ singen.
@SteveB Ja, nach ein paar Jahren weiß ich jetzt zu schätzen, dass es eine maximale Frequenz von Phononen gibt (die am Zonenrand) :) Ich denke also, dass dies die Grenzen in der obigen Gleichung auferlegt. Vielen Dank. Bei höheren Frequenzen tritt eine Zonenfaltung auf, die höhere Energiebänder ergibt. Gilt zur Berechnung der Anzahldichte nur über eine Elementarzelle zu integrieren?
@boyfarrell - Auch hier hat jeder Kristalltyp eine endliche maximale Phononenfrequenz. Das Phonon mit der höchsten Frequenz ist normalerweise eines der optischen Phononen bei k = 0, obwohl es in einigen Kristallen bei einem anderen k liegen kann. Es gibt NICHT unendlich viele Phononenbänder bei immer höheren Frequenzen. (Dies gilt für Elektronenbänder, aber nicht für Phononenbänder.) Die Anzahl der Phononenbänder hängt mit der Anzahl der Atome in einer Einheitszelle zusammen.
@SteveB ja klar, das kenne ich (Fehler in meinem letzten Kommentar). Was ich wirklich sagen wollte, war, dass ich schätze, warum es eine obere und eine untere Grenze für die Integration gibt. Vielen Dank für den Einblick in das Zonenfalten, das war mir nicht klar.

Antworten (2)

Verschiedene Arten von Phononen können nicht als getrennte Systeme betrachtet werden. Sie sind Schwingungen desselben Kristalls und interagieren miteinander.

Zum Beispiel ist die LO-Phononlebensdauer ungefähr 10 − 12 - 10 − 11 Sekunden, während die Periode der Schwingungen ungefähr ist 10 − 13 Sekunden (GaAs). Am Ende wird es zu zwei LA-Phononen, die in entgegengesetzte Richtungen laufen.

Die Bose-Einstein-Verteilung beschreibt das thermodynamische Gleichgewicht des gesamten Phononensystems. Sie sollten über alle Modi integrieren.

Die Zustandsdichte kann numerisch abgeschätzt oder experimentell gemessen werden. Beide liefern in der Regel ähnliche Ergebnisse, die zB in Kapitel 3 von "Fundamentals of Semiconductors" von Peter Y. Yu und Manuel Cardona zu finden sind .

Die wichtigsten experimentellen Techniken sind

Diese Antwort ist technisch korrekt, aber wenn die Wechselwirkung schwach genug ist (was meiner Meinung nach für diesen Fall der Fall sein wird), können Sie die optischen Phononen und die akustischen Phononen beide mit separaten Bose-Einstein-Verteilungen für freie Felder beschreiben und sind nicht zu weit entfernt aus. Die Frage ist nicht, ob sie interagieren, sondern ob sich die durchschnittliche Energie eines optischen Phonons im thermischen Hintergrund akustischer Phononen signifikant ändert (und umgekehrt). Mein Impuls ist, dass Optiken bei vernünftigen Temperaturen fehlen, während langwellige akustische Phononen ein nahezu perfektes Debye-Spektrum haben.
@Maksim, würde vorschlagen, dass Sie die Neutronenstreuung mit entsprechender Anwendung der inkohärenten Näherung und nicht nur die Raman-Spektroskopie einbeziehen, da nicht alle optischen Phononenmodi Raman-aktiv sind.
@RonMaimon, ich habe noch nie etwas über den Quasi-Gleichgewichtszustand optischer Phononen gehört. Um dieses Gleichgewicht bestehen zu lassen, sollte es einen Mechanismus der LO-Phonon-LO-Phonon-Wechselwirkung mit einer charakteristischen Zeit geben, die viel kürzer ist als die Abklingzeit. Dies ist eine interessante Frage.

LA Phononen haben

E = ℏ ω = ℏ c k
wo c ist die Geschwindigkeit von (Längs-)Schall und hat daher eine Zustandsdichte genau wie die von Photonen (mit einem anderen Wert ihrer Geschwindigkeit und einem Faktor von 1/2, da es nur einen Polarisationszustand gibt), z
g ( E ) = v ( ℏ c ) − 3 2 − 1 π − 2 E 2
und dies gilt streng genommen nur für niedrige Werte von k oder E . Und es gibt nur N Modi. Ein gängiges Modell geht davon aus, dass es nur die Zahl der gibt k 's so, dass es gibt N Modelle, sondern dass die Form für g ist ansonsten genau. Dieses "Debye" -Modell ist auf Wikipedia ziemlich gut erklärt.

LO-Phononen sind eine andere Geschichte. Hier ist das einfache Modell, dass sie eine einzige Frequenz haben und es gibt N von ihnen ist das mehr oder weniger ein Einstein-Modell (auch auf Wikipedia erklärt).

Anzahldichte von LO- und LA-Phononen als Funktion der Temperatur?
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