Wie wirkt sich die Anzahl der Atome in der Basis auf die Zustandsdichte aus?

Wenn es um Phononen und die spezifische Wärme von Festkörpern geht, scheint die wirklich wichtige Größe die Zustandsdichte zu sein N ( ω ) . Wenn wir es haben, können wir die innere Energie als finden

U ( T ) = ∫ N ( ω ) ℏ ω e − ℏ ω / k B T − 1 D ω ,

und wenn wir es haben, können wir auch die spezifische Wärme finden

C ( T ) = ∂ U ∂ T .

Nun, der Weg zu finden N ( ω ) ist normalerweise dies: wenn das reale Gitter eine primitive Zelle mit Volumen hat v , das Volumen der primitiven Zelle des k -Raum ist ( 2 π ) 3 / v . Das heißt, da es nur einen Punkt des Bravais-Gitters pro primitiver Zelle gibt, gibt es sie v / ( 2 π ) 3 Punkte der k -Gitter pro Volumeneinheit.

Dies wiederum führt zu Integralen der Form

N ( ω ) D ω = v ( 2 π ) 3 ∫ D k ,

wobei das Integral über den Bereich dazwischen genommen wird ω Und ω + D ω , oder gleichwertig

N ( ω ) = v ( 2 π ) 3 ∫ D S | ∇ k ω | ,

wobei das Integral über die Fläche genommen wird ω .

Dies ist alles in Ordnung, wenn eine Dispersionsrelation gegeben ist ω ( k ) wir können finden N ( ω ) mit diesen Integralen und mit N ( ω ) wir können finden U ( T ) und daher C ( T ) .

Was ist andererseits, wenn die Basis des Bravais-Gitters mehr als ein Atom hat? Zum Beispiel eine 2-Atom-Basis?

Dies ist ziemlich üblich, aber ich verstehe nicht, wie sich dies auf diese gesamte Ableitung auswirkt. Die naive Vermutung wäre das N ( ω ) multipliziert werden würde mit 2 , aber das ist nur eine Vermutung. Wie beeinflusst also die Anzahl der Atome in der Basis diese Argumentation und damit die thermodynamischen Eigenschaften eines Kristalls, wie die spezifische Wärme?

Ich glaube nicht, dass es von der Anzahl der Atome abhängt. Sie hängt von der Anzahl der betrachteten primitiven Zellen innerhalb eines K-Raum-Volumens ab.
Wenn also die Basis zwei Atome oder mehr hat, das heißt, in jeder primitiven Zelle gibt es mehr als ein Atom, wird das die Ergebnisse nicht beeinflussen?
Die Zustandsdichte wird durch Differenzieren der Anzahl der zulässigen Schwingungsmoden 'N' mit dem Wellenvektor ermittelt < K (In 3 D von N = v 2 π 3 . 4 π K 3 3 ) ... dies berücksichtigt automatisch alles. Ich kann mich irren, aber die Aussage „Anzahl der zulässigen Schwingungsmodi, dh die Anzahl der Phononenmodi, hängt von der Anzahl der Atome ab, aber wenn wir in den K-Raum übersetzen, wird die Einheitszelle (zusammen mit der Anzahl der darin enthaltenen Atome) erhalten entsprechend übersetzt, so dass Sie es nicht extra faktorisieren müssen. Wieder kann ich mich irren. Gute Frage.
Nur eine Randnotiz hier; Wenn im Quantenmodell der freien Elektronen ein Beitrag von mehr als einem Elektron durch das betrachtete Atom vorhanden ist, multiplizieren wir entsprechend mit der Anzahl der Leitungselektronen, wenn wir die Zustandsdichte finden!

Antworten (1)

Ich werde das Debye-Modell verwenden, um Ihre Zweifel so weit wie möglich zu klären.

Debye ging davon aus, dass die Anzahl der Schwingungsmoden in einem kristallinen Festkörper auf begrenzt ist 3 N , die Anzahl der Translationsfreiheitsgrade von N Atome (sehen Sie, wie es praktischerweise die Anzahl der Atome im primitiven Gitter und alle anderen Details darüber übersieht), um die tatsächliche atomare Natur eines kristallinen Festkörpers zu erklären. Es gibt eine minimale Wellenlänge in dem Problem, das durch den Abstand zwischen Atomen festgelegt wird. Schallwellen können sich nicht durch einen Festkörper mit einer Wellenlänge ausbreiten, die kleiner als der Atomabstand ist, da in der Mitte nichts zu schütteln ist. Die zulässigen Moden variierten dann in der Frequenz von Null bis zu einer gewissen Maximalfrequenz. Zu bekommen ω D , Debye-Set (ich verwende G statt deiner N um die Zustandsdichte zu bezeichnen.)

∫ 0 ω D G ( ω ) D ω = 3 N

Nun, ich hoffe, Sie wissen das G ( ω ) = 3 v 2 π 2 v 3 ω 2 für Phononenmoden (3 im Zähler entfallen zwei transversale und eine longitudinale Polarisation und v im Nenner ist die Schallgeschwindigkeit).

Zusammenfassend betrachten wir einfach den ganzen festen Kristall und zählen die Anzahl der darin enthaltenen Atome (anscheinend) – kümmern uns nicht um die primitive Elementarzelle oder die Anzahl der darin enthaltenen Atome – und machen dann einfach das obige Integral, wo wir tatsächlich anfangen Berücksichtigen Sie die Anzahl der Atome im Kristall (und daher immer noch nicht technisch gesehen in der primitiven Zelle; wir beschönigen es nur)

Mir ist klar, dass Ihre Frage war, ob die Anzahl der Atome in der primitiven Zelle irgendwie die Zustandsdichte beeinflusst, und die Antwort lautet nein. Weil wir die Anzahl der PHONONEN pro Frequenzbereichseinheit zählen ω Zu ω + D ω und nicht Atome oder irgendetwas anderes

Wie wirkt sich die Anzahl der Atome in der Basis auf die Zustandsdichte aus?
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