Paramagnetismus Spin-1/2-Teilchen - Partitionsfunktion

Question

Paramagnetismus Spin-1/2-Teilchen - Partitionsfunktion

vektorisieren7891

Ich versuche, einen Ausdruck für die Partitionsfunktion eines Systems von idealen Spin-1/2-Gasteilchen auf einer Längenlinie zu finden $L$ . Die Gesamtzahl der Partikel $N$ fest ist, mit $N = N_\uparrow + N_\downarrow$ . Hier, $N_\uparrow$ ist die Anzahl der Spin-up-Teilchen und $N_\downarrow$ ist die Anzahl der Spin-down-Teilchen in einem bestimmten Mikrozustand.

Ich habe den folgenden Hamiltonoperator für die Masseteilchen $m$ .

H = \sum_{ich = 1}^{N} \frac{(P_{ich} + β S_{ich})^{2}}{2 M} - B S_{ich}

$H = \sum_{i=1}^{N}{\frac{(p_i + \beta s_i)^2}{2m} -b s_i}$

Hier, $s_i = 1$ für das Aufdrehen $N_\uparrow$ Partikel u $s_i = -1$ für den Spindown $N_\uparrow$ Partikel. $\beta$ Und $b$ sind Konstanten.

Ich versuche, den Hamiltonian zu verwenden, um die Energie für die Spin-up- und Spin-down-Teilchen aufzuschreiben, damit ich die Partitionsfunktion aufschreiben kann. Wenn ich den Hamiltonoperator erweitere, erhalte ich:

H = \sum_{ich = 1}^{N} \frac{P_{ich}^{2}}{2 M} + \frac{P_{ich} β S_{ich}}{M} - B S_{ich} + β^{2}

$H = \sum_{i=1}^{N}{\frac{p_i^2}{2m} + \frac{p_i \beta s_i}{m} - b s_i + \beta^2}$

Wie finde ich daraus die Energie der beiden Sätze von Spinteilchen und verwende sie, um auf die Zustandssumme zu kommen? Ist die Energie der Teilchen gerecht?

E_{↑} = \frac{P_{ich}^{2}}{2 M} + \frac{P_{ich} β}{M} - B + β^{2}

$E_\uparrow = \frac{p_i^2}{2m} + \frac{p_i \beta}{m} - b + \beta^2$

E_{↓} = \frac{P_{ich}^{2}}{2 M} + \frac{- P_{ich} β}{M} + B + β^{2}

$E_\downarrow = \frac{p_i^2}{2m} + \frac{-p_i \beta}{m} + b + \beta^2$

Wie würde man das in der kanonischen Zustandssumme auswerten:

Z = \sum_{μ_{S}} e^{- β H}

$Z = \sum_{\mu_s}e^{-\beta H}$

Wo $\mu_s$ ist die Summierung über alle Mikrozustände. Ich bin mir nicht sicher, wie ich das bewerten soll.

Oscar David Arbeláez

Vernachlässigen Sie die magnetische Wechselwirkung zwischen Teilchen,

H = - \sum_{⟨ i, j ⟩} J_{i j} s_{i} s_{j}

$H=-\sum_{\langle i,j \rangle} J_{ij} s_{i} s_{j}$ ?

vektorisieren7891

Nein, ich habe diesen Begriff nicht im Hamiltonian. Ich versuche nur, die Orbitalbewegung der Teilchen klassisch zu behandeln.

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Paramagnetismus Spin-1/2-Teilchen - Partitionsfunktion

Vernachlässigen Sie die magnetische Wechselwirkung zwischen Teilchen, $H=-\sum_{\langle i,j \rangle} J_{ij} s_{i} s_{j}$ ?
Nein, ich habe diesen Begriff nicht im Hamiltonian. Ich versuche nur, die Orbitalbewegung der Teilchen klassisch zu behandeln.

Nephente · Answer 1

Schreiben Sie zunächst einen expliziten Ausdruck für die Summation über alle Mikrozustände auf.

Bearbeiten Da Sie das System klassisch behandeln, beinhaltet dies ein Integral über den Phasenraum und eine Summierung über alle möglichen Spin-Konfigurationen.

\sum_{μ_{S}} = \sum_{{S_{ich}}} \int \frac{D^{N} P D^{N} Q}{H^{3 N} N!}

$\sum_{\mu_s} = \sum_{\{s_i\}}\int\frac{d^Np d^Nq}{h^{3N}N!}$

Die zweite Sache ist zu erkennen, dass Ihr Hamiltonian nicht-interagiert und die kanonische Dichte ist $e^{-\beta H}$ ist nur ein Produkt von Ein-Teilchen-Hamiltonoperatoren

e^{- β H} = \prod_{ich = 1}^{N} e^{- β H_{ich}}

$e^{-\beta H} =\prod_{i=1}^Ne^{-\beta h_i}$ wo natürlich

H_{ich} = \frac{(P_{ich} + γ S_{ich})^{2}}{2 M} - B S_{ich}

$h_i = {\frac{(p_i + \gamma s_i)^2}{2m} -b s_i}$ (Ich habe umbenannt

β

$\beta$ Zu

γ

$\gamma$ , weil Sie nicht die inverse Temperatur meinen. Hier)

Also musst du abwägen

\frac{1}{N!} \sum_{{S_{ich}}} \prod_{ich = 1}^{N} \int \frac{D P_{ich} D Q_{ich}}{H^{3}} e^{- β H_{ich}} =

$\frac{1}{N!}\sum_{\{s_i\}}\prod_{i=1}^N\int\frac{dp_i dq_i}{h^{3}} e^{-\beta h_i} =$

Weil $H$ wechselwirkungsfrei ist, faktorisiert das N-Teilchen-Phasenraumintegral in N Integrationen über einen 1-Teilchen-Phasenraum. Ebenso kann man die Spin-Summierung und das Produkt vertauschen (überzeugen Sie sich selbst, dass das stimmt! zB dass man auf die gleichen Terme kommt, ob man zuerst über den Spin summiert oder nicht.)

Das heißt, anstatt über alle Vielteilchen-Mikrozustände zu summieren, summiert man zunächst über die möglichen Konfigurationen eines einzelnen Teilchens und berücksichtigt, dass es danach viele gibt. Zusätzlich alle $h_i$ sind gleichwertig. Sie tragen jeweils nur einen anderen, aber redundanten Index:

Z = \frac{1}{N!} \prod_{ich = 1}^{N} \sum_{S_{ich} = \pm 1} \int \frac{D P_{ich} D Q_{ich}}{H^{3}} e^{- β H_{ich}} = \frac{1}{N!} {(\sum_{S = \pm 1} \int \frac{D P D Q}{H^{3}} e^{- β H})}^{N}

$Z = \frac{1}{N!}\prod_{i=1}^N\sum_{s_i=\pm1}\int\frac{dp_i dq_i}{h^{3}} e^{-\beta h_i} = \frac{1}{N!}\left(\sum_{s=\pm1}\int\frac{dp dq}{h^{3}} e^{-\beta h}\right)^N$ Wo

h

$h$ Ist

h_{i}

$h_i$ aber ohne Index, weil der Bezug nicht mehr auf ein bestimmtes Teilchen gerichtet ist.

/Bearbeiten

Sie müssen darüber nachdenken, was Sie mit der Momentum-Integration tun. Ich habe das Ergebnis nicht berechnet, aber es könnte sein, dass Sie am Ende keine Lösung in geschlossener Form erhalten. Möglicherweise ist eine Annäherung erforderlich, um die Impulssummierung durchzuführen. Bearbeiten Ich denke, eine Gaußsche Integration wird den Zweck erfüllen. /Bearbeiten Lass uns wissen, was dabei herauskommt!

@vectorize7891 Hast du Fortschritte gemacht? Benötigen Sie weitere Erläuterungen?
Vielen Dank, dass Sie dies weiterverfolgt haben! Ich habe einige Fortschritte gemacht. Müssen Sie nicht auch Positionen summieren? Die einzige Möglichkeit, wie ich dies bewerten könnte, ist für große $N$ . Eine andere Sorge, die ich hatte, ist für große $N$ , das weißt du nicht unbedingt $N_\uparrow$ UND $N_\downarrow$ werden beide groß sein, oder?
@ vectorize7891 Sie haben Recht bezüglich der Volumenintegration. Ich habe meine Antwort aktualisiert. Ich denke, es wird ausreichen, um groß zu betrachten $N$ irgendwann, ohne darauf hinzuweisen $N_\uparrow$ oder $N_\downarrow$ . Sind sie bei Ihrer Berechnung eingeflossen? Obwohl in der Grenze von null externem Feld, werden ihre Erwartungswerte sein $N/2$ , ein externes Feld wird sie auseinandertreiben.

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Oscar David Arbeláez

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Nephente

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