Wahrscheinlichkeit verschiedener Zustände - Kanonisches Ensemble - Partitionsfunktion

Nehmen wir an, man ist hinter der N-Körper-Partitionsfunktion eines klassischen Systems her.

$$Z_N \propto \int d\Omega_N e^{-\beta H}$$ Das Integral ist über den N-Körper-Phasenraum und $H$ist der vollständige Hamiltonoperator. Wenn das System nicht interagiert, $H$ist die Summe von $N$Ein-Teilchen-Hamiltonianer $$H = H_1+H_2+\cdots+H_N$$ die jeweils nur von den Koordinaten und dem Impuls eines einzelnen Teilchens abhängen.

Das Phasenraumintegral wird dann in Einkörperintegrale faktorisiert

$$Z_N \propto \left(\int d\Omega_1 e^{-\beta H_1}\right)\left(\int d\Omega_2 e^{-\beta H_2}\right)\cdots\left(\int d\Omega_N e^{-\beta H_N}\right) = \prod_i Z(i)$$ was nur das Produkt der Ein-Teilchen-Partitionsfunktionen ist. Wenn die Hamiltonianer alle gleich sind, z $H_i=p_i^2/2m$, alle sp-Partitionsfunktionen stimmen überein, und das haben Sie tatsächlich $$Z_N \propto Z_1^N$$ Nun, ich schreibe proportional, denn wie Sie bemerkt haben, gibt es einen Faktor von $1/N!$fehlen. Dies tritt auf, wenn Sie es mit nicht unterscheidbaren Partikeln zu tun haben. Wenn man diesen Faktor nicht einbezieht, wird die Entropie zum Beispiel nicht additiv und Sie stehen im Wesentlichen vor Gibbs Paradoxon .

Beachten Sie, dass der Begriff der Ununterscheidbarkeit grundsätzlich ein Quantenbegriff ist ! Klassisch wäre so etwas nicht zu erwarten, dennoch überwiegt diese Quanteneigenschaft im klassischen Limes.

Zum ersten Teil Ihrer Frage: Sie sprechen von der Wahrscheinlichkeit, dass „das Teilchen“ sich dreht. Ich bin mir nicht sicher, ob das im Zusammenhang mit vielen Körpern eine vernünftige Frage ist. Meinen Sie die Wahrscheinlichkeit, genau ein Teilchen im oberen Zustand zu finden? Wenn ja, denken Sie an die Energie eines solchen Zustands und verwenden Sie die Definition von$P_i$Du gabst.

Schreiben :$Z = \sum\limits_{\{N_{\lambda_i}\}}e^{-\beta \sum\limits_{\lambda_i} N_{\lambda_i}\epsilon_{\lambda_i}}$, wir haben :

$\langle N_{\lambda_j}\rangle = \dfrac{1}{Z}\sum\limits_{\{N_{\lambda_i}\}}N_{\lambda_j}e^{-\beta \sum\limits_{\lambda_i} N_{\lambda_i}\epsilon_{\lambda_i}} = \dfrac{1}{Z} \dfrac{-1}{\beta} \dfrac{\partial}{\partial \epsilon_{\lambda_j}} Z = \dfrac{-1}{\beta} \dfrac{\partial \ln Z}{\partial \epsilon_{\lambda_j}}$

In dem Fall wo$Z = z^N$oder$Z = \dfrac {z^N}{N!}$, wir bekommen :$\ln Z = N \ln z + A$, Wo$A$ist eine Konstante, die nicht von der abhängt$\epsilon_{\lambda_j}$. Wir könnten also schreiben:

$\langle N_{\lambda_j}\rangle = \dfrac{-N}{\beta} \dfrac{\partial \ln z}{\partial \epsilon_{\lambda_j}}$

In Ihrem Fall haben wir$z = e^{-\beta \epsilon_+} + e^{-\beta \epsilon_-}$, also ist es sehr einfach zu bekommen$N_+$Und$N_-$aus obiger Beziehung:

$\langle N_\pm \rangle = N \dfrac{e^{-\beta \epsilon_\pm}}{e^{-\beta \epsilon_+} + e^{-\beta \epsilon_-}}$

"Ideales Gas" bedeutet unabhängige Teilchen. Wenn Partikel unabhängig sind, können Sie ein Partikel untersuchen und wissen, was alle anderen Partikel im Durchschnitt tun.

Mathematisch gesehen ist die$N$-Partikelpartitionsfunktion$Q_N$und die Ein-Teilchen-Partitionsfunktion$Q_1$sind in diesem Fall verwandt als

$$Q_N = \frac{Q_1^N}{N!}$$

Die Faktorisierung von$Q_N$in ein Produkt von$Q_1$'s bedeutet, dass Sie das System studieren können, indem Sie entweder auf schauen$Q_N$oder bei$Q_1$. Wenn Teilchen interagieren (nicht ideales Gas), ist es nicht möglich, eine einfache Beziehung zwischen zu schreiben$Q_N$Und$Q_1$.