Wie entsteht in einem Material die Wärmegleichung aus Phononen? Und von Elektronen?

Obwohl ich Ihre Frage verstehe und validiere, enthält sie einige ungerechtfertigte Annahmen. Ich werde versuchen, mein bestes Verständnis zu geben und hoffe, dass es klarer wird, aber während Sie das Drude-Sommerfeld-Modell ablehnen, besteht der springende Punkt beim Verständnis der Renormierungsgruppe für kondensierte Materie darin, dass die ungefähren Erklärungen normalerweise die richtigen und relevanten phänomenologischen Erklärungen enthalten.

1]Für Leiter: Die Idee des Bloch-Theorems besteht darin, die Behandlung von Elektronen als freies Gas zu rechtfertigen, da das Drude-Sommerfeld-Modell, solange es wenige Verunreinigungen/Defekte gibt, die korrekten physikalischen Erklärungen enthält, wobei der Fehler in O(1 ) Faktoren. Wenn Sie also mit Bloch-Elektronen und spärlichen Verunreinigungen beginnen möchten, besteht der erste Schritt darin, den quantenmechanischen Streuquerschnitt zwischen Elektronen und Kernen zu bewerten. Dies ist eine Lehrbuch-QM-Übung, aber Sie müssen die effektive Elektronenmasse (materialabhängig) und das abgeschirmte Coulomb-Potential verwenden (ist nur ein exponentieller Term zusätzlich zur Coulomb-Wechselwirkung, aber mit dem Skalierungsfaktor materialabhängig). Sobald Sie den Querschnitt haben, gehen Sie wie gewohnt für das Drude-Sommerfeld-Modell wie in jedem Lehrbuch vor.

Dies setzt Born-Oppenheimer-Approximation voraus. Wenn Sie anfangen, damit zu arbeiten, tauschen Sie wackelnde Defekte/Verunreinigungen gegen statische plus Phononen. Verwenden Sie in diesem Fall Feynman-Regeln, um den neuen Wirkungsquerschnitt zu berechnen, indem Sie Phonon-Elektron-Wechselwirkungen verwenden und die Korrektur herausfinden. Wie in der Störungstheorie üblich, ergibt dies nur zusätzliche Terme im Querschnitt.

Daher enthält das Drude-Sommerfeld-Modell bereits die physikalische Erklärung für den Wärmetransport in Metallen, alle quantenmechanischen Betrachtungen werden nur Zahlenangaben zum Streuquerschnitt und damit nur den Zahlenwert der Wärmeleitfähigkeit ändern. Man muss sich nur Sorgen machen, falls Sie viele, viele Verunreinigungen / Defekte haben, dann könnten Sie mit einem Anderson-Isolator enden, aber dann gilt der Satz von Bloch nicht mehr. Oder starke Wechselwirkungen und dann haben Sie vielleicht Mott-Isolatoren. Gehen Sie in jedem Fall zu [2]

2]Für Isolatoren: Hier sind, noch einfacher, Elektronen an Kerne gebunden, also suchen wir nur nach Phononenausbreitung. Dies ist ein freies Bosongas mit Korrekturen aufgrund von Phonon-Phonon-Wechselwirkungen, die in der Störungstheorie auftreten.

Sie können also mit dem "echten Hamiltonian" eines Haufens von Atomen beginnen, die über Coulomb-Kräfte interagieren, die Born-Oppenheimer-Näherung anwenden und dann bleiben Bosonen und Fermion, die störend interagieren. Bearbeiten Sie den relevanten Querschnitt in der gewünschten Kopplungsreihenfolge und folgen Sie dann den Hinweisen von Drude-Sommerfeld, die nur eine Anwendung der Boltzmann-Gleichung sind.

Wenn etwas nicht stimmt, liegt das daran, dass Sie starke Wechselwirkungen haben, in diesem Fall ist die Störungstheorie nicht gerechtfertigt, und Sie landen beim Anderson-Effekt oder Mott-Isolatoren.

Beachten Sie auch, dass die Fourier-Gleichung experimentell nur für feste Materialien unter kleinen Temperaturunterschieden gültig ist. Ein 10-cm-Eisenstab, bei dem jedes Ende sehr unterschiedlichen Temperaturen ausgesetzt ist, gehorcht dem Fourier-Austausch nicht, hat aber auch einen wellenartigen Transport (aufgrund von Blochs Elektronen), der dominieren kann. Joel Lebowitz hatte in den späten 1990er und frühen 2000er Jahren einige Arbeiten verfasst, in denen er die experimentellen Grenzen der Fourier-Gleichung diskutierte.