Warum reproduziert die Phononentheorie keine Debye-ähnliche Kurve für CVCVC_V vs. TTT?

Question

Warum reproduziert die Phononentheorie keine Debye-ähnliche Kurve für CVCVC_V vs. TTT?

Erstarrung

Die Debye-Theorie ist ein Modell der spezifischen Wärme, bei dem eine hochfrequente Abschaltung erfolgt $\omega_D$ wird von Hand eingelegt. Die resultierende Kurve von $C_V$ gegen Temperatur $T$ wächst wie $T^3$ bei niedrigen $T$ und bei hoch auf einen konstanten Wert gesättigt $T$ . Der Ad-hoc-Parameter $\omega_D$ wird dann experimentell angepasst.
Die Phononentheorie ermöglicht es uns auch, den Beitrag der spezifischen Wärme zu berechnen, die von Phononen ausgeht. Es verwendet die Dispersionsrelation $\omega=c_sk$ . Aber das führt nur zu der $T^3$ Verhalten, das nur das Tieftemperaturverhalten ist. Siehe Ashcroft & Mermin, Seite 457 für eine Ableitung.

Warum kann die Phononentheorie der Festkörper keine Debye-ähnliche Kurve reproduzieren? Falls ich schlecht informiert bin und eine Debye-ähnliche Kurve reproduzieren kann, schlagen Sie mir bitte eine Referenz vor (vorzugsweise ein Buch / eine Vorlesungsnotiz, kein Forschungsartikel).

Simon

Ich hatte vor ein paar Jahren eine ähnliche Frage. Dies könnte helfen: physical.stackexchange.com/questions/396479/…

Simon

Aber ich würde trotzdem empfehlen, Ashcroft & Mermin zu lesen! Andere Referenzen könnten Kittels „Einführung in die Festkörperphysik“ und ein Buch „Solid State Basics“ von Steven H. Simon für Studenten sein

Marsch

Ich bin mir eigentlich nicht sicher, wo du das herbekommst. In Kapitel 23 ("Quantentheorie des harmonischen Kristalls") in meiner Ausgabe von Ashcroft & Mermin sprechen sie über die allgemeinen (nichtlinearen) Dispersionsbeziehungen für die normalen Schwingungsmoden eines Festkörpers. Sie schreiben den Ausdruck für die Wärmekapazität in Bezug auf die Dispersion auf und zeigen, dass im Hoch-

T

$T$ Grenze, dies ergibt das Gesetz von Dulong und Petit (weil die Phononendispersion bereits eine natürliche Grenzfrequenz hat!); siehe Seiten 454-455 ("Spezifische Hochtemperaturwärme").

Erstarrung

@März Ich weiß. Auf Seite 455, Gleichung 23.14 haben sie nicht gezeigt, dass bei hohem T,

C_{V}

$C_V$ geht zu einer Konstante. Die Frage ist, wie kann man das zeigen.

Marsch

@ mithusengupta123 Vielleicht fehlt mir etwas, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass die Erweiterung oben auf Seite 455 zeigt , dass das Gesetz von Dulong und Petit im Limit gilt

T \to \infty

$T\to\infty$ , weil der führende Term von Ordnung ist

k_{B} T

$k_{\textrm{B}}T$ (führt zu D & P), und der Rest der Terme nimmt mit zunehmender Temperatur ab. Kombiniert mit der Tatsache, dass es eine natürliche Grenzfrequenz für echte Festkörper gibt, die die Integrale übergibt

ω

$\omega$ endlich --- diese beiden Tatsachen zeigen, dass die Wärmekapazität endlich ist und dass D & P im Hoch-

T

$T$ Grenze.

Antworten (1)

Warum reproduziert die Phononentheorie keine Debye-ähnliche Kurve für CVCVC_V vs. TTT?

Ich hatte vor ein paar Jahren eine ähnliche Frage. Dies könnte helfen: physical.stackexchange.com/questions/396479/…
Aber ich würde trotzdem empfehlen, Ashcroft & Mermin zu lesen! Andere Referenzen könnten Kittels „Einführung in die Festkörperphysik“ und ein Buch „Solid State Basics“ von Steven H. Simon für Studenten sein
Ich bin mir eigentlich nicht sicher, wo du das herbekommst. In Kapitel 23 ("Quantentheorie des harmonischen Kristalls") in meiner Ausgabe von Ashcroft & Mermin sprechen sie über die allgemeinen (nichtlinearen) Dispersionsbeziehungen für die normalen Schwingungsmoden eines Festkörpers. Sie schreiben den Ausdruck für die Wärmekapazität in Bezug auf die Dispersion auf und zeigen, dass im Hoch- $T$ Grenze, dies ergibt das Gesetz von Dulong und Petit (weil die Phononendispersion bereits eine natürliche Grenzfrequenz hat!); siehe Seiten 454-455 ("Spezifische Hochtemperaturwärme").
@März Ich weiß. Auf Seite 455, Gleichung 23.14 haben sie nicht gezeigt, dass bei hohem T, $C_V$ geht zu einer Konstante. Die Frage ist, wie kann man das zeigen.
@ mithusengupta123 Vielleicht fehlt mir etwas, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass die Erweiterung oben auf Seite 455 zeigt , dass das Gesetz von Dulong und Petit im Limit gilt $T\to\infty$ , weil der führende Term von Ordnung ist $k_{\textrm{B}}T$ (führt zu D & P), und der Rest der Terme nimmt mit zunehmender Temperatur ab. Kombiniert mit der Tatsache, dass es eine natürliche Grenzfrequenz für echte Festkörper gibt, die die Integrale übergibt $\omega$ endlich --- diese beiden Tatsachen zeigen, dass die Wärmekapazität endlich ist und dass D & P im Hoch- $T$ Grenze.

Marsch · Answer 1

Oben auf Seite 455 in Ashcroft und Mermin bemerken sie, dass man die Bose-Einstein-Verteilung in Potenzen erweitern kann $1/T$ um die Hochtemperaturausdehnung zu erhalten. Der erste Term ergibt das Gesetz von Dulong und Petit, und die restlichen Terme zerfallen als Funktion von $T$ . Aufgrund der natürlichen Hochfrequenzgrenze, die durch den endlichen Abstand zwischen Atomen verursacht wird, sind auch die Integrale in jedem dieser Terme endlich. Diese beiden Tatsachen machen die Wärmekapazität bei hohen Temperaturen endlich und die Wärmekapazität entspricht dem Gesetz von Dulong und Petit as $T\to\infty$ . Betrachten Sie für einen bestimmten Fall Folgendes.

1D-Harmonisches Modell

Soweit wir die Schwingungen des Gitters als harmonisch behandeln können (dh keine nichtlinearen Oszillatorterme), liefert die Phononentheorie für einen 1D-Körper eine Debye-ähnliche Kurve.

Dispersionsrelation und Zustandsdichte

Die Dispersionsrelation für eine 1D-Kette von Massenatomen $m$ durch eine Distanz getrennt $a$ und durch federkonstante Federn verbunden $c$ Ist

ω = 2 \sqrt{\frac{C}{M}} | Sünde (\frac{k_{X} A}{2}) |, Wo - \frac{π}{A} \leq k_{X} \leq \frac{π}{A} .

$\omega = 2\sqrt{\frac{c}{m}}\left|\sin\left(\frac{k_xa}{2}\right)\right|,~~~~~~~\mbox{where}~~~~~~-\frac{\pi}{a}\leq k_x\leq \frac{\pi}{a}.$ Dementsprechend ist die (1D)-Zustandsdichte gegeben durch

D (ω) = \frac{L}{π} \frac{1}{D ω / D k},

$D(\omega) = \frac{L}{\pi}\frac{1}{d\omega/dk},$ Wo

L = N a

$L=Na$ ist die Gesamtlänge des Körpers, und

N

$N$ ist die Anzahl der Atome (auch die Anzahl der primitiven Elementarzellen, da es ein Atom pro Elementarzelle gibt). Unter Verwendung der obigen Dispersionsrelation wird dies

D (ω) = \frac{N}{ω_{max}} \frac{2}{π} {\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{1 - (ω / ω_{max})^{2}}} & ω \leq ω_{max} \\ 0 & ansonsten \end{cases},

$D(\omega)= \frac{N}{\omega_{\textrm{max}}}\frac{2}{\pi} \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{1-(\omega/\omega_{\textrm{max}})^2}} & \omega \leq \omega_{\textrm{max}} \\ 0 & \textrm{otherwise} \end{cases},$ Wo

ω_{max} = 2 \sqrt{c / m}

$\omega_{\textrm{max}}=2\sqrt{c/m}$ . Wichtig ist die Grenzfrequenz

ω_{max}

$\omega_{\textrm{max}}$ automatisch eingebaut: Die maximale Frequenz (minimale Wellenlänge) ergibt sich aus dem endlichen Atomabstand.

Integraler Ausdruck für die innere Energie

Beim Umwandeln des Integrals über $k$ zu einem vorbei $\omega$ , die innere Energie wird

U = \int_{0}^{\infty} D ω D (ω) \frac{ℏ ω}{e^{ℏ ω / k_{B} T} - 1} = \int_{0}^{ω_{max}} D ω \frac{N}{ω_{max}} \frac{2}{π} \frac{1}{\sqrt{1 - (ω / ω_{max})^{2}}} \frac{ℏ ω}{e^{ℏ ω / k_{B} T} - 1} .

$U = \int_0^{\infty}d\omega~D(\omega)\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/k_{\textrm{B}}T}-1} = \int_0^{\omega_{\textrm{max}}}d\omega~\frac{N}{\omega_{\textrm{max}}}\frac{2}{\pi}\frac{1}{\sqrt{1-(\omega/\omega_{\textrm{max}})^2}}\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/k_{\textrm{B}}T}-1}.$ Beim Ändern von Variablen zu

x = ω / ω_{max}

$x=\omega/\omega_{\textrm{max}}$ , das wird

U = \frac{2 N}{π} ℏ ω_{max} \int_{0}^{1} D X \frac{1}{\sqrt{1 - X^{2}}} \frac{X}{e^{X (ℏ ω_{max} / k_{B} T)} - 1} .

$U= \frac{2N}{\pi}\hbar\omega_{\textrm{max}}\int_0^{1}dx~\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\frac{x}{e^{x(\hbar\omega_{\textrm{max}}/k_{\textrm{B}}T)}-1}.$

Wärmekapazität

Die Wärmekapazität ist gegeben durch

\frac{\partial U}{\partial T} = k_{B} \frac{2 N}{π} {(\frac{ℏ ω_{max}}{k_{B} T})}^{2} \int_{0}^{1} D X \frac{1}{\sqrt{1 - X^{2}}} \frac{X^{2} e^{X (ℏ ω_{max} / k_{B} T)}}{{(e^{X (ℏ ω_{max} / k_{B} T)} - 1)}^{2}} .

$\frac{\partial U}{\partial T} = k_{\textrm{B}}\frac{2N}{\pi}\left(\frac{\hbar\omega_{\textrm{max}}}{k_{\textrm{B}}T}\right)^2\int_0^{1}dx~\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\frac{x^2e^{x(\hbar\omega_{\textrm{max}}/k_{\textrm{B}}T)}}{\left(e^{x(\hbar\omega_{\textrm{max}}/k_{\textrm{B}}T)}-1\right)^2}.$ Dieses Integral ist für alle positiven Werte von endlich

T

$T$ . Unten habe ich diese Wärmekapazität (durchgezogen) zusammen mit der entsprechenden Debye-Interpolation (gestrichelt) als Funktion von aufgetragen

T

$T$ . Wir können sehen, dass beide bei hohen Temperaturen dem Gesetz von Dulong und Petit folgen, dass sie bei niedrigen Temperaturen linear sind (und übereinstimmen) und dass das Phononenmodell bei mittleren Temperaturen aufgrund der Abrundung der Dispersion eine höhere Wärmekapazität ergibt Beziehung (dh mehr Moden bei niedrigeren Frequenzen bedeuten, dass die höheren Frequenzmodi bei niedrigeren Temperaturen "einschalten" als im Debye-Modell mit der linearen Dispersionsbeziehung. (Beachten Sie, dass ich zum Vergleich der beiden die langwellige Schallgeschwindigkeit angepasst habe der beiden Modelle, was dazu führt

ω_{D} = \frac{π}{2} ω_{max}

$\omega_{\textrm{D}} = \frac{\pi}{2}\omega_{\textrm{max}}$ .)

Warum reproduziert die Phononentheorie keine Debye-ähnliche Kurve für CVCVC_V vs. TTT?

Erstarrung

Simon

Simon

Marsch

Erstarrung

Marsch

Antworten (1)

Marsch

Phononendichte von Zuständen

Warum steigt die Wärmeleitfähigkeit mit der Temperatur?

Debye-Temperatur für Kupfer

Anzahldichte von LO- und LA-Phononen als Funktion der Temperatur?

Gebundene Zustände und Streulänge

Higgs gegen Phononen

Paramagnetismus Spin-1/2-Teilchen - Partitionsfunktion

Wie entsteht in einem Material die Wärmegleichung aus Phononen? Und von Elektronen?

Phononen und Wärmeleitung

Warum sind Schallwellen Moden zugeordnet, die einer linearen Dispersionsbeziehung gehorchen?