Debye-Temperatur für Kupfer

Hier ist einiges los. Das erste ist, dass Sie anscheinend Einheiten für Dichte und Molmasse mischen, indem Sie in einem Fall kg und im anderen g verwenden. Wenn Sie das beheben, erhalten Sie korrekterweise eine Zahlendichte in der Größenordnung von$10^{28}$. Sie werden jedoch immer noch keine gute Übereinstimmung mit finden$~345K$Wert, den Sie erwarten. Warum ist das?

Nun, es gibt noch eine zweite und subtilere Sache, nämlich dass Sie eine einzige Schallgeschwindigkeit verwenden. In Wirklichkeit ist die Schallgeschwindigkeit in (einer) Längs- und (zwei) Querrichtung unterschiedlich. Wenn Sie stattdessen eine durchgerechnete Durchschnittsgeschwindigkeit verwenden

$$\bar{v}_s = 3^\frac{1}{3}\left( \frac{1}{v^3_{\mathrm{transverse}}}+\frac{2}{v^3_{\mathrm{longitudinal}}}\right)^{-\frac{1}{3}}$$ Sie werden dem experimentellen Wert viel näher kommen. Sie werden feststellen, dass dies keine gewöhnliche Durchschnittsgeschwindigkeit ist, sondern einfach eine Konstante, die in der Ableitung der Debye-Temperatur definiert ist.

Die dritte erwähnenswerte Sache ist, dass die Schallgeschwindigkeit davon abhängt, wie Ihre Kupferprobe hergestellt wurde. Der Wert$v_s=3800$m/s ist die Längsschallgeschwindigkeit in dünnen Kupferstäben, wohingegen$v_s=4600$m/s ist ein (eher niedriger) Wert für das Schüttgut.

Guter Eintrag. Und danke Anyon für die Erläuterungen. Ich werde die vollständige klare Lösung für dieses Problem mit Links und Zahlen posten und dabei einen kleinen Fehler korrigieren, den Anyon gemacht hat.

Erstens, was die Dichte und Molmasse von Kupfer betrifft, habe ich

$$\rho = 8960 \text{ kg/m}^{3}$$ Und $$M_a = 63.546 \text{ u}$$ die ich aus Wikipedia https://en.m.wikipedia.org/wiki/Copper genommen habe

Dies gibt mir eine Dichte von

$$\begin{align} {N \over V} & = \frac{1000 \cdot N_A \cdot \rho}{M_a} \\ & = \frac{1000\cdot6.023\times10^{28}\cdot8960}{63.546} \\ & = 8.49\times10^{28} \text{ atom per m}^3 \end{align}$$

Nun, wie Anyon sagte, haben wir 2 transversale und 1 longitudinale Schallwellen, die die Geschwindigkeiten haben

$$v_{\mathrm{transverse}} = 2325 \text{ m/s}$$ Und $$v_{\mathrm{longitudinal}} = 4760 \text{ m/s}$$ die ich von https://www.engineeringtoolbox.com/amp/sound-speed-solids-d_713.html genommen habe

Nun, beim Anwenden der Formel für$\theta_D$, sollte man eine "durchschnittliche" Schallgeschwindigkeit nehmen. Hier hat Anyon einen kleinen Fehler gemacht. Da wir 2 Quer- und 1 Längsachse haben, ergibt sich die Durchschnittsgeschwindigkeit aus der Formel

$$\bar{v}_s = 3^\frac{1}{3}\left( \frac{2}{v^3_{\mathrm{transverse}}}+\frac{1}{v^3_{\mathrm{longitudinal}}}\right)^{-\frac{1}{3}}$$

Wenn wir die Zahlen einsetzen, erhalten wir

$$\begin{align} \bar{v}_s & = 3^\frac{1}{3}\left( \frac{2}{2325^3}+\frac{1}{4760^3}\right)^{-\frac{1}{3}} \\ & = 2611.69 \text{ m/s} \end{align}$$ Jetzt mit der Formel $$\theta_D = \frac{\hbar v_s}{k_B} \left( \frac{6\pi^2N}{V} \right)^{1/3}$$ Und wenn wir die Zahlen einsetzen, die wir haben, erhalten wir $$\begin{align} \theta_D & = \frac{1.055\times10^{-34}\cdot2611.69}{1.38\times10^{-23}}\left(6\pi^2\cdot8.49\times10^{28}\right)^{1/3} \\ & = 342 \text{ K} \end{align}$$

Das liegt innerhalb des erwarteten Werts von 343 K.