Warum erlaubt das chemische Nullpotential keine Bose-Einstein-Kondensation von Phononen?

Es gibt einen wichtigen Unterschied zwischen der Bose-Einstein-Kondensation von Atomen und Quasiteilchen, den ich weiter unten beschreiben werde.

Bose-Einstein-Kondensation eines idealen (atomaren) Bose-Gases

Für Bosonen chemisches Potential$\mu$hat eine wichtige Einschränkung:$\mu<E_{0} \equiv 0$Wo$E_{0}$ist die Grundzustandsenergie. Ansonsten die Berufsnummer$\mathcal{N}(E)$wird einen negativen Wert haben, der nicht physikalisch ist. Die Gesamtpartikeldichte$n$wird aus der Zustandsdichte pro Volumen berechnet$\mathcal{D}(E)$und die Berufsnummer$\mathcal{N}(E)$nach der Bose-Einstein-Verteilung:

$$\begin{align} n &= \int_{0}^{\infty} \mathcal{D}(E)\mathcal{N}(E)dE\\ &= \frac{1}{V}\frac{1}{e^{-\mu/k_{\textrm{B}}T}-1} + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(2\pi)^{2}}\left(\frac{2m}{\hbar^{2}}\right)^{3/2}\frac{\sqrt{E}}{e^{(E-\mu)/k_{\textrm{B}}T}-1}dE \end{align}$$ Angenommen, wir halten $T$konstant und erhöhen die Partikeldichte $n$durch Hinzufügen von Partikeln zum System (beachten Sie, dass $n$ist eine zunehmende Funktion von $\mu$). Damit die Dichte zunimmt, müssen wir den Wert von entsprechend erhöhen $\mu$. An der oberen Grenze $\mu \rightarrow 0$, wird die Partikeldichte $$\begin{equation} n \simeq \underbrace{-\frac{k_{\textrm{B}}T}{\mu V}}_{n_{0}} + \underbrace{\frac{2.612}{\lambda_{\textrm{th}}^{3}}}_{n_{\textrm{th}}} \end{equation}$$ Wo $\lambda_{\textrm{th}}$die thermische De-Broglie-Wellenlänge ist. Der erste Term (Grundzustandsdichte $n_{0}$) steigt unbegrenzt an $\mu\rightarrow 0$, während der zweite Term (Anregungszustandsdichte $n_{\textrm{th}}$) nähert sich der endlichen Grenze. Daher kann der Grundzustand überschüssige Teilchen aufnehmen, die alle angeregten Zustände nicht annehmen können. Nach diesem Punkt müssen alle hinzugefügten Teilchen in den Grundzustand übergehen und ein Bose-Einstein-Kondensat bilden. Das chemische Potential wird dann ausgedrückt als $$\begin{equation} \mu = -\frac{k_{\textrm{B}}T}{(n-n_{\textrm{th}})V} = -\frac{k_{\textrm{B}}T}{N_{0}} \end{equation}$$ Wo $N_{0}$ist die Anzahl der Teilchen im Grundzustand. Beachten Sie, dass das chemische Potential nur in der thermodynamischen Grenze, wo die Gesamtzahl der Teilchen ist, genau Null ist $N$ist unendlich. In einem realistischen System ist das chemische Potential immer ungleich Null.

Bose-Einstein-Kondensation von Photonen und Phononen

Es gibt jedoch Systeme, bei denen das chemische Potential selbst bei hohen Temperaturen und niedrigen Dichten intrinsisch Null ist. Das chemische Nullpotential$\mu = 0$bedeutet, dass seine konjugierte Variable die Anzahl der Teilchen ist$N$, wird nicht konserviert. Mit anderen Worten, wenn Wechselwirkungen zur Änderung der Teilchenzahl dominieren, gibt es keine freie Energie, die mit dem Hinzufügen oder Entfernen eines Teilchens einhergeht. Das häufigste Beispiel sind Photonen, wo sie von Materie absorbiert und emittiert werden können; daher kann die Anzahl der Photonen ohne Energiekosten variieren. Die Anzahl der Photonen wird ständig und automatisch an die Planck-Verteilung angepasst

$$\begin{equation} \mathcal{N}(E) = \frac{1}{e^{E/k_{\textrm{B}}T}-1} \end{equation}$$ das ist die Bose-Einstein-Verteilung ohne chemisches Potential. Verwendung der Zustandsdichte $\mathcal{D}(E)$für masselose Teilchen wird die Photonendichte $$\begin{equation} n = \int_{0}^{\infty}\mathcal{D}(E)\mathcal{N}(E)dE = \int_{0}^{\infty}\frac{E^{2}}{\pi^{2}\hbar^{3}c^{3}}\frac{1}{e^{E/k_{\textrm{B}}T}-1}dE \simeq 2.404\frac{(k_{\textrm{B}}T)^{3}}{\pi\hbar^{3}c^{3}} \end{equation}$$ Dasselbe gilt für akustische Phononen mit linearer Dispersion, mit Ausnahme der Lichtgeschwindigkeit $c$durch die Schallgeschwindigkeit ersetzt.

Beachten Sie, dass dies die meisten Bedingungen der Bose-Einstein-Kondensation erfüllt. Für den Grundzustand verschwindet die Zustandsdichte$\mathcal{D}(E\rightarrow 0) = 0$, also hat die Anzahl der Teilchen eine endliche Grenze, die durch die obige Integration gegeben ist. Auch die Bodenstaatsbesetzung$\mathcal{N}(E=0)$ist unendlich. Allerdings ist die Teilchendichte im Grundzustand

$$\begin{equation} n_{0} \propto \lim_{E\rightarrow 0}\frac{E^{2}}{e^{E/k_{\textrm{B}}T}-1} = 0 \end{equation}$$ anders als im vorherigen Fall für Atome, wo die Grundzustandsdichte als divergiert $$\begin{equation} n_{0} \propto \lim_{E\rightarrow 0}\frac{\sqrt{E}}{e^{E/k_{\textrm{B}}T}-1} = \infty. \end{equation}$$ Die Grundzustandsdichte $n_{0}$für Photonen ist niemals vergleichbar mit der thermischen Photonendichte $n_{\textrm{th}}$, obwohl die Grundzustandsbelegung unendlich ist. Darüber hinaus wird jedes hinzugefügte (entfernte) Teilchen verschwinden (wieder auftauchen), so dass die freie Energie minimiert wird, dh das chemische Potential null ist. Die einzige Möglichkeit, die durchschnittliche Anzahl von Partikeln zu ändern, besteht darin, die Temperatur zu ändern. Daher kann Bose-Einstein-Kondensation in Systemen ohne Teilchenzahlerhaltung nicht auftreten.

Darüber hinaus ist, wie in der anderen Antwort erwähnt, der Grundzustand eines Photons (oder eines akustischen Phonons bei$\Gamma$Punkt) hat außer der Vakuumschwankung keine Energie – es gibt überhaupt keine Anregung. Die Nullenergie$\hbar \omega = 0$bedeutet im Wesentlichen, dass es kein Photon (Gitterschwingung) gibt und die Anzahl der Photonen (Phononen) im Grundzustand per Definition Null ist. Dies kommt von der Form der Dispersion.

Was aber, wenn Sie eine photonische (akustische) Bandlückenstruktur so konstruieren, dass es ein endliches Minimum der Photonen- (Phononen-) Dispersion gibt? Auch in diesem Fall und selbst wenn die Zustandsdichte so skaliert$\mathcal{D}(E)\propto\sqrt{E}$Wie im atomaren Fall sollte ein weiterer wichtiger Punkt angesprochen werden: Quasiteilchen-Zeitskalen.

Bose-Einstein-Kondensation von Quasiteilchen

Quasiteilchen verschwinden im Allgemeinen nach langer Zeit und die Zahl der Quasiteilchen bleibt nur auf einer bestimmten Zeitskala erhalten. Wie oben erwähnt, ist die Teilchenzahlerhaltung notwendig, um ein chemisches Potential ungleich Null und eine Bose-Einstein-Kondensation zu haben. Daher ist der Vergleich zwischen der Lebensdauer und anderen Zeitskalen wichtig.

Quasiteilchenlebensdauer ($\tau_{\textrm{l}}$) hat zwei Komponenten: Strahlungslebensdauer ($\tau_{\textrm{r}}$) und strahlungslose Lebensdauer ($\tau_{\textrm{nr}}$). Ersteres bezieht sich auf die Wechselwirkung mit photonischen Moden, während letzteres auf die Wechselwirkung mit anderen Teilchen wie Phononen oder Defekten bezogen ist. Andererseits ist die Interaktionszeit ($\tau_{\textrm{int}}$) kann auf verschiedene Weise klassifiziert werden. Eine Möglichkeit basiert auf der Art der Teilchen, die gestreut werden: Selbstwechselwirkung ($\tau_{\mathrm{self}}$) und Wechselwirkungen mit Bad ($\tau_{\mathrm{bath}}$). Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Zahlenerhaltung als Kriterium zu verwenden: Zahlenerhaltende Wechselwirkungen ($\tau_{\mathrm{c}}$) und nichtzahlerhaltende Wechselwirkungen ($\tau_{\mathrm{nc}}$).

Diese Zeitskalen sind typischerweise miteinander verknüpft. Zum Beispiel,$\tau_{\mathrm{self}}$kann beides beinhalten$\tau_{\mathrm{c}}$(z. B. elastischer Zwei-Magnonen-Stoß) und$\tau_{\mathrm{nc}}$(z. B. zweite harmonische Erzeugung von Photonen). Als weiteres Beispiel können Exziton-Phonon-Wechselwirkungen die Energie von Exzitonen wegnehmen, aber Exzitonen nicht zerstören ($\tau_{\mathrm{c}}$), während Magnon-Phonon-Wechselwirkungen Magnonen zerstören können, indem sie Phononen emittieren ($\tau_{\mathrm{nc}}$Und$\tau_{\mathrm{nr}}$). Aus diesem Grund ist es nicht trivial, eine einzige Aussage über den Zustand der Quasiteilchen-Bose-Einstein-Kondensation zu machen. Trotzdem muss folgende Bedingung erfüllt sein:

$$\begin{equation} \tau_{\mathrm{c}} < \tau_{\mathrm{l}} < \tau_{\mathrm{nc}} \end{equation}$$ Die erste Ungleichung ist die Thermalisierungsbedingung: Quasiteilchen brauchen eine lange Lebensdauer, um sich selbst zu thermalisieren ( $\tau_{\mathrm{self}}$) oder zum Thermalisieren zum Baden ( $\tau_{\mathrm{bath}}$). Die zweite Ungleichung impliziert, dass das Quasiteilchen als thermodynamisches Teilchen behandelt werden kann, wenn die nicht zahlenerhaltende Streuzeit ( $\tau_{\mathrm{nc}}$) ist länger als die Lebensdauer.

Betrachten Sie beispielsweise den Fall, in dem einige nichtthermische Quasiteilchen zu einem Gleichgewichtssystem hinzugefügt werden. Das System wird von der ursprünglichen Bose-Einstein-Gleichgewichtsverteilung gestört. Nach$\tau_{\mathrm{c}}$haben Quasiteilchen eine neue Verteilung mit einem chemischen Potential ungleich Null und einer wohldefinierten Temperatur, die gleich oder verschieden von der Badtemperatur sein kann. Sie wird dadurch bestimmt, ob die Art der zahlenerhaltenden Wechselwirkungen dominiert wird$\tau_{\mathrm{self}}$oder$\tau_{\mathrm{bath}}$. Wenn die Quasiteilchen nach dieser Zeitskala, aber vorher zerfallen$\tau_{\mathrm{nc}}$, dann kann das System stetig gepumpt werden, um Quasiteilchen wieder aufzufüllen – ein sogenanntes getrieben-dissipatives System. Wie auch immer, wenn$\tau_{\mathrm{nc}}$ist kürzer als$\tau_{\mathrm{l}}$, wird die Verteilung an die Gleichgewichtsverteilung mit chemischem Nullpotential angepasst, und das Quasiteilchen wird am Ende immer ein chemisches Nullpotential haben. Für Photonen,$\tau_{\mathrm{nc}}$ist normalerweise viel kürzer als$\tau_{\mathrm{l}}$damit die Anzahl der Photonen schnell an die Planck-Verteilung angepasst wird. Für Atomkondensate Dreikörperkollisionszeit$\tau_{\mathrm{nc}}$legt die Obergrenze der Teilchendichte fest.

Ich denke, Sie haben ziemlich genau die richtigen Ideen in Ihrer Frage.

Bei einem herkömmlichen BEC bleibt die Partikelzahl erhalten. Wenn also T gegen 0 geht ,$\mu$zum niedrigsten Zustand ansteigt , um die Teilchenzahl zu erhalten. Die Anzahl der Teilchen im niedrigsten Zustand steigt also ... und wird schließlich makroskopisch groß, und das ist die BEC (in der nicht wechselwirkenden Situation).

Für Phononen ist die Teilchenzahl nicht erhalten, und$\mu$ist immer 0 (im Gleichgewicht). Da T aber kleiner wird$\mu$gleich bleibt, sinkt die Belegung jedes einzelnen Modes . Das sieht man direkt an der Formel.

PS: Sie haben das akustische Phonon mit der Nullfrequenz angesprochen. Nun, es ist nur Nullfrequenz in der Lehrbuchberechnung für einen unendlich großen Kristall. Reale Objekte haben eine endliche Größe, und die niedrigste Phononenfrequenz entspricht dem akustischen Grundmodus des Objekts. Versuchen Sie im Alltag, mit einem Stock auf Ihren Kristall zu schlagen, und hören Sie auf das Klingeln, das er macht. Welche Frequenz ist es? Vielleicht 300 Hz für ein kleines Objekt? Nun, 300 Hz ist das Phonon mit der niedrigsten Frequenz. Die Besetzung dieses niederfrequenten 300-Hz-Phononenmodus nimmt mit der Temperatur ab, genau wie alle anderen Phononenmodi.