Könnte das chemische Potenzial eines Bose-Gases Null sein?

Nehmen wir durchgehend an, dass die Grundzustandsenergie des betrachteten Systems Null ist.

Chay Paterson hat Ihre Frage im Fall eines Gases von Bosonen angesprochen, in dem die Anzahl der Teilchen nicht erhalten bleibt, aber aus dem Wortlaut Ihrer Frage geht hervor, dass Sie sich Sorgen über den Fall machen, in dem die Gesamtzahl der Teilchen gilt Fest.

Für ein System von Bosonen mit fester Anzahl$N$von Partikeln lautet die Antwort auf Ihre Frage

Nein. Das chemische Potential ist für alle ungleich Null$T>0$.

Sie weisen jedoch darauf hin, dass oft gesagt wird, dass die kritische Temperatur unterschritten wird$T_c$, das chemische Potential ist null, also was ist los? Die Auflösung ist im Wesentlichen das

das chemische Potential ist für fast alle Temperaturen unterhalb der kritischen Temperatur sehr gut durch Null angenähert, aber es ist nie genau Null.

Wenn Sie das System von über der kritischen Temperatur herunterkühlen, wird die Zahl$N_e$von Teilchen in angeregten Zuständen wird immer niedriger. Andererseits ist die Zahl der Teilchen in den angeregten Zuständen bei jeder gegebenen Temperatur nach oben begrenzt, und diese Grenze nimmt als Funktion der Temperatur ab$T^{3/2}$(für nichtrelativistische Systeme in drei Dimensionen). Bei einer bestimmten ausreichend niedrigen Temperatur (der kritischen Temperatur) ist diese obere Grenze niedriger als die Gesamtzahl der Teilchen im System, und die Teilchen werden in den Grundzustand gezwungen. Aber an diesem Punkt fällt das chemische Potential nicht genau auf Null. Es wird jedoch sehr schnell sehr klein, wenn die Temperatur sinkt und die Anzahl der Teilchen im Grundzustand zunimmt.

In der Tat, wenn wir die Anzahl der Teilchen im Grundzustand als Funktion der Temperatur betrachten

$$N_0 = \frac{1}{e^{-\mu(T)/kT}-1}$$ was gibt $$\mu(T) = -kT\ln\left(1+\frac{1}{N_0}\right)$$ dann sehen wir, dass das chemische Potential immer strikt kleiner als null ist, weil das Argument des Logarithmus immer strikt größer als ist $1$. Aber wenn man die Temperatur unter die kritische Temperatur herunterwählt, und wenn die Anzahl der Teilchen im Grundzustand zunimmt $N$, die Gesamtzahl der Teilchen im System, die vermutlich sehr groß ist, und das chemische Potential nimmt ab, da das Argument des Logarithmus näher kommt $1$.

Für ein Bose-Gas, bei dem die Teilchenzahl nicht erhalten bleibt, z. B. tatsächlich Schwarzkörperphotonen$\mu=0$. Wie funktioniert das?

Nun, wenn Sie sich der Nullfrequenz nähern, wird die Anzahl der Schwarzkörper-Photonen immer höher – ja, Sie wetten, sie nähert sich der Unendlichkeit. ABER trotzdem wird die kollektive Gesamtenergie dieser niederfrequenten Photonen immer geringer. (Wenn Sie sich der Nullfrequenz nähern, nimmt die Energie pro Photon schneller ab als die Photonenpopulation zunimmt.)

Diese ultraniederfrequenten Photonen speichern also vernachlässigbare Energie, selbst wenn man ihre immense (theoretisch unendliche) Anzahl berücksichtigt. Genauso kann man sich überlegen, ob diese Photonen merkliche Auswirkungen auf Materie haben. Die Antwort ist nein, trotz ihrer immensen Anzahl, denn mit abnehmender Frequenz werden die Wechselwirkungen immer schwächer und schwächer, schneller als die Photonenpopulation zunimmt.

Die Anzahl der Photonen ist also unendlich, aber es interessiert niemanden, weil sie in keiner Weise nachweisbar sind. Denken Sie daran, wir sprechen beispielsweise von Photonen im Weltraum mit einer Periode von 1 Jahr und einer Wellenlänge von 1 Lichtjahr.

Weitere Einzelheiten finden Sie unter "Infrarot-Divergenz" . :-D