Warum ist das chemische Potential, μ=0 bei der Berechnung der kritischen Temperatur von BECs?

Bestimmung der Obergrenze des chemischen Potentials für ein Gas von$\mathcal N$Bosonen, schauen Sie sich die Form der Bose-Verteilung im großkanonischen Ensemble an$\langle N \rangle = \mathcal N$. Bei Verwendung des GCE ist es am einfachsten, mit dem chemischen Potenzial zu arbeiten$\mu$und dann zu wählen$\mu(\mathcal N)$so dass$\langle N\rangle(\mu)=\mathcal N$. Jeder Staat$s$hat eine durchschnittliche Auslastung

$$\langle n_s\rangle=\frac{\sum_{n\geq 0} ne^{-\beta n(\epsilon_s-\mu)}}{\sum_{n\geq 0} e^{-\beta n(\epsilon_s-\mu)}}=\frac{1}{\Xi_s}\frac{\partial}{\partial(\beta\mu)}\Xi_s,\quad \Xi_s=\frac{1}{1-e^{-\beta(\epsilon_s-\mu)}},\\ =-\partial_{(\beta\mu)}\log(1-e^{-\beta\epsilon_s+(\beta\mu)})=\frac{e^{\beta\mu}}{1-e^{-\beta(\epsilon_s-\mu)}}.$$ Diese ist endlich, solange $\mu<\epsilon_s$. Damit $\langle N\rangle=\sum_s \langle n_s\rangle$um endlich zu sein, brauchen wir $\mu<\min_s \epsilon_s=\epsilon_0$. Daher gilt für jedes System von Bosonen, wo $N$ist konserviert haben wir $\mu<\epsilon_0$. Es ist konventionell einzustellen $\epsilon_0=0$der Einfachheit halber, aber Sie können Systeme mit haben $\epsilon_0\neq 0$. Wie Sie mit Ihrer letzten Frage angedeutet haben, ist in diesen Systemen der kritische Wert von $\mu$Ist $\epsilon_0$im thermodynamischen Limit, mit $N, V, E\rightarrow \infty$Und $\mu, p, T$konstant gehalten. Natürlich, wenn das System keine BEC-Phase hat, dann als $T\rightarrow 0$, das chemische Potential $\mu$überschreitet nie einen gewissen Wert $\mu_\max<\epsilon_0$.