Hängt die Bose-Einstein-Kondensation von Randbedingungen ab?

In einer Schachtel mit langen Seiten L , hängen die Energieeigenwerte von den Randbedingungen ab. Für periodische Randbedingungen sind sie es

(1) E N X , N j , N z = ℏ 2 2 M ( 2 π L ) 2 ( N X 2 + N j 2 + N z 2 )
Wo ( N X , N j , N z ) sind ganze Zahlen, aber zum Reflektieren von Randbedingungen sind sie es
(2) E N X , N j , N z = ℏ 2 2 M ( π L ) 2 ( N X 2 + N j 2 + N z 2 )
Wo ( N X , N j , N z ) sind positive ganze Zahlen. In den meisten Fällen macht dies keinen Unterschied, da beide die gleiche Zustandsdichte ergeben. In einem Bose-Einstein-Kondensat jedoch, wo sich eine makroskopische Anzahl von Teilchen im Grundzustand befindet, scheint es eine Wirkung zu haben.

Zum Beispiel im ( 1 ) , der Grundzustand ist E 0 , 0 , 0 = 0 , während in ( 2 ) es ist E 1 , 1 , 1 = 3 ℏ 2 π 2 2 M L 2 . Dies ist nur eine willkürliche Energieverschiebung. Wo ein Unterschied entsteht, ist die Energielücke zum ersten angeregten Zustand. Für ( 1 ) , das ist E 1 , 0 , 0 − E 0 , 0 , 0 = 2 ℏ 2 π 2 M L 2 , aber für ( 2 ) es ist E 2 , 1 , 1 − E 1 , 1 , 1 = 3 ℏ 2 π 2 2 M L 2 . Laut Bose-Einstein-Statistik müssten die beiden ansonsten identischen Gase also einen unterschiedlichen Anteil an Teilchen im ersten angeregten Zustand haben. Wie wird das vereinbart?

Edit: ableiten ( 1 ) , nehmen Sie eine Wellenfunktion an (für eine Box, die auf den Ursprung zentriert ist) ψ ( R ) = 1 L 3 e ich k ⋅ R und periodische Randbedingungen auferlegen, z ψ ( L / 2 , j , z ) = ψ ( − L / 2 , j , z ) . Ableiten ( 2 ) , verwenden Sie eine 3D-Quadrat-Wellenfunktion (jetzt mit einer Ecke am Ursprung) ψ ( R ) = ( 2 L ) 3 / 2 Sünde ⁡ ( k X X ) Sünde ⁡ ( k j j ) Sünde ⁡ ( k z z ) und erzwingen, dass es an den Wänden Null sein muss.

Warum sollte es möglich sein, zwei unterschiedliche Situationen miteinander in Einklang zu bringen?
Normalerweise wird gesagt, dass Randbedingungen die endgültige Antwort nicht beeinflussen, also dachte ich, dass dies auch hier der Fall sein sollte.
Normalerweise trifft dies nur zu, wenn Sie die Systemgröße ins Unendliche bringen. Für endliche Systeme machen Grenzen einen Unterschied.
Für andere Gase (klassisch oder Fermi) spielen die Randbedingungen selbst für ein System endlicher Größe keine Rolle. Sind BECs nur ein Sonderfall, wo das nicht funktioniert?
Ich wäre überrascht, wenn die Randbedingungen für eine endliche Systemgröße keine Rolle spielen würden. Hast du dafür eine Referenz? Beispielsweise ist in dem von Ihnen diskutierten Beispiel das Energiespektrum deutlich anders. Dies wird irgendwelche Konsequenzen haben.
In Concepts in Thermal Physics von Blundell und Blundell leiten sie die Zustandsdichte unter Verwendung sowohl periodischer als auch reflektierender Randbedingungen ab und zeigen, dass sie gleich sind. Die Verwendung der Zustandsdichte erfordert natürlich, dass die Kontinuumsnäherung gilt, aber dies ist bei fast allen Gasen außer BECs der Fall. Sie sprechen nie davon, die Grenze der unendlichen Größe zu nehmen.
Aber die Zustandsdichte ist nur im Grenzbereich eines unendlichen Systems wohldefiniert. Ansonsten handelt es sich nicht um eine glatte Funktion, sondern um eine Folge von Delta-Peaks, die von den Randbedingungen abhängen ! Bücher können mit diesen Konzepten nachlässig sein und solche Annahmen zB nur am Rande erwähnen.
Mein Punkt ist, dass „unendliche Größe“ mit Ausnahme von BECs so ziemlich immer erfüllt ist.
Was meinst du? Ob "unendliche Größe" erfüllt ist, hängt von der Situation ab, die Sie studieren möchten. Will man ein sehr großes System studieren, dann ist man damit zufrieden. Will man die Bildung von BECs in einem sehr großen System studieren, muss man die entsprechende Grenze nehmen, sonst nicht.
Ich denke, es ist meine Schuld, „unendliche Größe“ zu wörtlich zu interpretieren, weshalb ich argumentiert habe, obwohl wir uns eigentlich einig sind. Wollen Sie damit sagen, dass „unendliche Größe für BECs nicht erfüllt ist, sodass das Ergebnis von den Randbedingungen abhängt“? In diesem Fall, wenn Sie die Antwort schreiben, werde ich sie akzeptieren.
Wie werden die Gleichungen 1 und 2 hergeleitet?
Ich habe eine Erklärung hinzugefügt, woher die Gleichungen kommen.

Antworten (1)

Hängt die Bose-Einstein-Kondensation von Randbedingungen ab?

NEIN.

Dies kann rigoros in „ Über die Bose-Einstein-Kondensation eines idealen Gases “ von LJ Landau und IF Wilde (1979) gezeigt werden.

Der Beweis liegt in der Berechnung der Fugazität z = e β μ ( in der Arbeit als Aktivität bezeichnet) und zeigt, dass es bei einigen ein nicht-analytisches Verhalten zeigt T = T C unabhängig von der konkreten Randbedingung. Unter anderem berücksichtigen sie periodische Randbedingungen und reflektierende Wände, letzteres nehme ich an, was Sie mit "reflektierenden" Randbedingungen meinen. Nichtanalytisches Verhalten thermodynamischer Größen im thermodynamischen Limit ist ein Zeichen für einen Phasenübergang.

Alles, was zählt, ist die Geometrie des Systems, in diesem Fall ein freies Bose-Gas, das in einer kubischen Seitenwand eingeschlossen ist L . In 3D. (Es ist bekannt, dass kostenlose Systeme für D < 2 weisen wegen des Mermin-Wagner-Theorems kein BEC auf).

Physischer Kommentar

Ich finde es nicht verwunderlich, dass ein BEC nicht von der Randbedingung abhängt. Periodische oder reflektierende Randbedingungen werden normalerweise für dynamische Systeme wie Elektronen in der Masse eines kristallinen Materials verwendet, um Transporteigenschaften zu untersuchen. BEC ist ein Gleichgewichtsphänomen , also bestimmt die Geometrie des Systems (z. B. ein Kasten oder ein harmonisches Potential) die Gleichgewichtsphysik.

Ihre Gleichungen

Um Ihre angebliche Diskrepanz mit der Zustandsdichte und der Energielücke direkt anzugehen, würde ich gerne Ableitungen Ihrer beiden Gleichungen sehen.

Antwort auf Bearbeitung

Danke. Ja, im Nachhinein waren Ihre Ableitungen irgendwie offensichtlich, sorry. Ich war mir nur nicht sicher, was Sie mit "reflektierenden" Randbedingungen meinten, aber ich denke, Sie meinen "abstoßende Wände" und daher nur eine normale Kastenfalle.

Wie auch immer, ich fing gerade an, die Mathematik zu entwickeln, basierend auf dem Finden der kritischen Temperatur T C nach der üblichen Gleichung

N e X C ich T e D S T A T e S = ∑ ich ∈ A l l B u T G R Ö u N D S T A T e 1 e E ich / ( k T C ) − 1
und verwenden E ich in Ihren beiden Fällen, als ich ein Papier gefunden habe, wo sie es bereits getan haben.

Sie haben es nie veröffentlicht, also wurde es möglicherweise nicht von Experten begutachtet. Passen Sie also auf, was sie sagen. Aber es heißt " Effekte endlicher Größe mit Randbedingungen auf die Bose-Einstein-Kondensation " und sie zeigen, dass unterschiedliche Randbedingungen eine Verschiebung bewirken T C , die jedoch vernachlässigbar und nicht mehr vorhanden ist, wenn Sie die Systemgröße erhöhen L → ∞ .

Endliche Größe oder nicht

Ich sollte hinzufügen, dass Sie, um ein echter Phasenübergang und damit ein echter BEC zu sein, die Systemgröße ins Unendliche bringen oder besser die thermodynamische Grenze erreichen müssen N / v → ∞ , Wo N Teilchenzahl und ist v ist Volumen.

In einem endlichen System wird das Integral zu einer Summe und Sie können eine kritische Teilchenzahl definieren, die Ihnen dann ein (Quasi-)Kondensat gibt, selbst in Situationen, z. B. im 2D-Raum, in denen es nicht existieren könnte . Aber dieses "Kondensat" würde die thermodynamische Grenze nicht überleben und ist daher keine echte Phase im statistisch-mechanischen Sinne.

Ich habe einen Abschnitt hinzugefügt, in dem erklärt wird, woher meine Gleichungen stammen, wenn Sie versuchen möchten, die Diskrepanz zu erklären.
@AlexGhorbal Die Antwort wurde bearbeitet, um dies zu beheben.
Hängt die Bose-Einstein-Kondensation von Randbedingungen ab?
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