Pauli-Prinzip für "Phononen"

Ich lese gerade in Feynmans „Statistical Mechanics“ Kap. 6.4 über ein System von M wechselwirkende Teilchen können Bosonen oder Fermionen sein. Lass den Hamiltonian sein

(1) H = ∑ ich 3 M P ich 2 + ∑ ich J 3 M U ich J Q ich Q J ,

mit einer symmetrischen Matrix U und geeignete Definition von p und q, um die Konstanten loszuwerden. Durch Diagonalisieren kann der Hamiltonoperator in Form gebracht werden

(2) H = 1 2 ∑ ich 3 M ( P ich 2 + ω ich 2 Q ich 2 ) ,
mit verallgemeinerten Koordinaten P ich Und Q ich . Definieren Sie die Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren A k = 1 2 ℏ ( ω k Q k + ich ω k P k ) Und A k † .

Der Hamiltonian nimmt daher die Form an

(3) H = ∑ ich 3 M ℏ ω ich ( A ich † A ich + 1 2 ) = ∑ ich 3 M ℏ ω ich ( N ich + 1 2 ) .

Die Eigenzustände sind

(4) | N 1 N 2 . . . N 3 M ⟩ = ∏ ich 3 M ( A ich † ) N ich N ich ! | v A C ⟩
(5) H | N 1 N 2 . . . N 3 M ⟩ = ∑ ich 3 M ℏ ω ( N ich + 1 2 ) | N 1 N 2 . . . N 3 M ⟩ ,

und sie werden interpretiert als N 1 "Phononen" im ersten Modus, N 2 im zweiten usw.

Nun zu den Fragen:

  1. Wie müssen wir hier das Pauli-Prinzip anwenden? Ich nehme an, die Zustände sind Tensorprodukte von "Einzelteilchen" -Zuständen | N 1 N 2 . . . N 3 M ⟩ := | N 1 ⟩ | N 2 ⟩ . . . | N 3 M ⟩ , aber in diesem Fall wären sie nicht richtig symmetrisiert, da zum Beispiel A 1 † ( A 2 † ) 3 | v A C ⟩ = | 1 ⟩ | 3 ⟩ ist weder ein symmetrischer noch ein antisymmetrischer Zustand.

  2. Woher wissen wir überhaupt, was die richtige Symmetriebedingung sein sollte? Muss die Wellenfunktion unter Austausch des Phononenmodus symmetrisch sein?

  3. Hängt (2.) davon ab, ob die wechselwirkenden Teilchen von vornherein Bosonen oder Fermionen sind, oder eher von der Art der Mode? Was ist, wenn es sich um eine Mischung aus verschiedenen Arten oder Partikeln handelt?

Hallo Curio, ich habe mich eigentlich nur gefragt, ob Sie das jemals herausgefunden haben? Wie Sie versuche ich, dies zu verstehen, und fand die Antwort unten auch nicht ganz zufriedenstellend. Mein Bauch sagt, dass dies im Grunde eine Annäherung ist, die in der Grenze hält, dass alle Teilchen im Gitter irgendwie unterscheidbar sind.
Danke für deinen Kommentar, denn ich bin auch noch nicht ganz zufrieden damit. Ich denke, wir gehen von Anfang an von unterscheidbaren Teilchen aus, wie Sie sagten. Dies ist bei der Beschreibung eines Gitters gerechtfertigt, da die Teilchen aufgrund der Lokalisierung der verschiedenen Atome gut unterscheidbar sind. Dann spielt es auch keine Rolle, ob die Atome bosonisch oder fermionisch sind, was Sinn macht. Trotzdem erhält man aus dieser "mikroskopischen" Beschreibung Quasi-Teilchen mit bosonischem Charakter (wegen der Vertauschungsbeziehungen der Erzeugungsoperatoren für die Phononenmoden).

Antworten (1)

Das Pauli-Prinzip ist bereits in vollem Umfang wirksam - es wird zu dem Zeitpunkt durchgesetzt, an dem Sie Ihre Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren so einstellen, dass sie kanonischen Kommutierungsbeziehungen der Form gehorchen

[ A ich † , A J † ] = δ ich J ,
im Gegensatz zu Antikommutierungsbeziehungen der Form { A ich † , A J † } = δ ich J . Für den Phononenfall, mit dem Sie es zu tun haben, sind die kanonischen Kommutierungsbeziehungen eher eine Folge der zugrunde liegenden Struktur als ein von außen auferlegtes Axiom, aber das Ergebnis ist dasselbe, da es die (Anti-) Kommutierungsbeziehungen sind, die den Unterschied zwischen Fermionen markieren und Bosonen auf jedem zweitquantisierten Formalismus wie dem, den Sie verwenden.

Das bedeutet unter anderem, dass Sie das behaupten

Zum Beispiel A 1 † ( A 2 † ) 3 | v A C ⟩ = | 1 ⟩ | 3 ⟩ ist weder ein symmetrischer noch ein antisymmetrischer Zustand

stimmt nicht - der Staat | 1 ⟩ | 3 ⟩ ist bereits vollständig symmetriert. Was zählt, ist nicht die Symmetrie der Wellenfunktion unter, in Ihren Worten,

Austausch des Phononmodus,

was keinen Sinn macht - was Sie interessieren würde, ist der Austausch der Phononen innerhalb jedes Modus oder zwischen verschiedenen Modi: dh eine Symmetrieoperation, die eines dieser drei Photonen darin aufnimmt | 3 ⟩ und tauscht ihn gegen den zweiten ein. Oder eine Symmetrieoperation, die das Photon in die nimmt | 1 ⟩ , steckt es in die | 3 ⟩ , und nimmt dann eines der Originale | 3 ⟩ und versetzt das in den gleichen Modus, in dem gestartet wurde | 1 ⟩ .

So formuliert machen diese Symmetrieoperationen natürlich überhaupt keinen Sinn, und das liegt daran, dass Sie bereits mit einem automatischen, zweitquantisierten Formalismus arbeiten, der solche Fragen, unabhängig davon, woher er kommt, vollständig wiedergibt strittig. Die Austauschsymmetrie ist in den (Anti-)Vertauschungsbeziehungen kodiert und das war's.

Ich glaube, ich verstehe, aber was mich immer noch verwirrt, ist Folgendes: Ich kann nach der Wahrscheinlichkeit fragen, dass die erste verallgemeinerte Koordinate den Wert annimmt Q 1 und die zweite den Wert Q 2 , sagen wir für den Zustand, den ich in der Frage geschrieben habe: P ( Q 1 , Q 2 ) = | ⟨ Q 1 | ⟨ Q 2 | ) ( | 1 ⟩ | 3 ⟩ | 2 = | ψ 1 ( Q 1 ) ψ 3 ( Q 2 ) | 2 . Wo ψ ich ( Q ) ist die Positionswellenfunktion eines einzelnen harmonischen Oszillators mit der Besetzungszahl i. Aber ich würde erwarten, dass die Antwort lautet | ψ 1 ( Q 1 ) ψ 3 ( Q 2 ) + ψ 3 ( Q 1 ) ψ 1 ( Q 2 ) | 2 wegen der Austauschsymmetrie. Was ist hier mein Denkfehler?
Ich verstehe nicht, warum wir uns besonders um den Austausch von zwei Phononen zwischen verschiedenen Modi kümmern sollten, da das Phonon a priori nur ein Konzept ist, das wir "erfunden" haben, um die Form des Hamiltonian zu verstehen, nicht wahr? Bevor wir zur Hamiltonschen Diagonale übergegangen sind, wurde der Zustand des Systems durch eine Summe von Tensorprodukten einzelner Teilchenzustände beschrieben, die der Austauschsymmetrie gehorchen muss, je nachdem, ob die fraglichen Teilchen Bosonen oder Fermionen sind. Warum müssen wir uns nicht mehr darum kümmern?
Pauli-Prinzip für "Phononen"
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