Wie man rigoros argumentiert, dass der Überlagerungszustand im Fall einer spontanen Symmetriebrechung instabil ist

1.

Der entscheidende Punkt, den Sie vermissen, ist, dass das spontane Symmetriebrechen oder der Begriff der Phasenübergänge im Allgemeinen nur für Systeme mit lokalen Wechselwirkungen funktioniert. Ein Phasenübergang ist definiert als ein Punkt im Hamiltonschen Parameterraum, an dem die Dichte der freien Energie in der Grenze unendlicher Größe nicht analytisch wird. Diese Definition setzt offensichtlich die Existenz einer wohldefinierten unendlichen Systemgrenze der freien Energiedichte voraus. Aber für translationsinvariante Gittersysteme wie das Ising-Modell nähert sich die freie Energiedichte nur einem konstanten Wert an$N \to \infty$wenn$\sum_j J_{ij}$konvergiert absolut, was ungefähr so ​​viel bedeutet$|J_{ij}|$muss schneller abfallen als$1/r^d$, wo$d$ist die Anzahl der Dimensionen. Mit anderen Worten, die Kopplungen müssen einigermaßen lokal sein.

(Experten könnten einwenden, dass ungeordnete Systeme mit nichtlokalen All-to-All-Kopplungen, wie die Sherrington-Kirkpatrick- oder SYK-Modelle, immer noch Replika-Symmetrie-brechende Phasenübergänge haben. Aber das trifft eigentlich nur zu, wenn Sie die Kopplungskonstanten als Potenz von neu skalieren die Gesamtsystemgröße, was keine sehr physikalische Sache ist.Wenn Sie dies nicht tun, dann verschwindet der Phasenübergang, und zwar der$N \to \infty$Grenze wird schlecht definiert. Reale Systeme sind nie wirklich all-to-all gekoppelt - in der Praxis gibt es eine maximale Entfernung, bei der die Kopplungen verschwinden, und all-to-all-gekoppelte Modelle sind nur eine bequeme Annäherung.)

Jede mutmaßliche Erklärung des spontanen Symmetriebruchs, die nicht explizit die Lokalität verwendet, ist bestenfalls ernsthaft unvollständig. Dekohärenz ist zu kompliziert, um sie hier zu erklären, aber eine Schlüsselannahme ist, dass die Wechselwirkungen lokal im Raum sind, was die Positionsbasis als natürlich bevorzugte Zeigerbasis auswählt, so dass Positions-nahe-Eigenzustände natürlicher sind als beispielsweise Impuls-nahe- Eigenzustände.

2. und 3.

Die Lokalität des Systems und insbesondere die Annahme, dass alle Störungen lokal sind, gibt uns eine Vorstellung von der "Entfernung" zwischen zwei Zuständen, die nützlicher ist als die bloße Orthogonalität. Wie Sie betonen, können Orthogonalität / innere Produkte allein nicht zwischen zwei Zuständen unterscheiden, die sich nur durch einen einzigen Spin unterscheiden, und zwei Zuständen, die sich durch alle ihre Spins unterscheiden, obwohl das letztere Paar in gewissem Sinne eindeutig "anderer" ist als das Vorherige.

Da hast du natürlich recht$\langle i | A | j \rangle = 0$für zwei beliebige unterschiedliche Eigenzustände eines beliebigen hermitischen Operators, nicht nur des Hamilton-Operators. Aber dieses einfache Matrixelement ist nicht die richtige Definition von "der Tunnelamplitude". Soweit ich weiß, ist die tatsächliche Definition etwas unscharf und das Konzept eher eine Kunst als eine Wissenschaft, aber hier sind zwei mögliche Konzeptualisierungen:

a) Sie können sich den symmetriebrechenden Term als Störung vorstellen und den Hamiltonoperator zerlegen als$H = H_0 + \Delta H$, wo$H_0$respektiert die Symmetrie und$\Delta H$bricht es. Dann sagt uns die Störungstheorie, dass alle Störungskorrekturen in Bezug auf die Matrixelemente ausgedrückt werden können$\langle i_0 | \Delta H | j_0 \rangle$wo$\langle i_0|$und$|j_0\rangle$sind die Eigenzustände des ungestörten Hamiltonoperators$H_0$, nicht der exakte Hamiltonoperator. Diese Matrixelemente sind allgemein ungleich Null.

b) Ich mag die Störungstheorie nicht, also denke ich lieber in Analogie zu Monte Carlo. Die Umgebung versucht ständig, mit zufälligen kleinen lokalen symmetriebrechenden Störungen auf das System einzuwirken. Sie können es sich so vorstellen$h = 0$im vollen Hamiltonian, aber$h_i \sigma_i^x$Begriffe erscheinen zufällig vorübergehend auf einzelnen Websites$i$(oder ähnliche Begriffe auf kleinen lokalen Clustern von Websites). Diese sind wie Monte-Carlo-Kandidaten-Spin-Flips, und bei niedriger Temperatur werden sie normalerweise nur akzeptiert, wenn sie die Gesamtenergie des Systems senken. Für ein kleines System, das im All-$\uparrow$Staat, Sie könnten Glück haben und genug Flips akzeptieren, um Sie schließlich in eine Mehrheit zu bringen -$\downarrow$Zustand, an welchem ​​Punkt Sie dann wahrscheinlich mit allen fortfahren werden-$\downarrow$- obwohl jeder dieser ersten paar individuellen Überschläge unwahrscheinlich war. Aber um mehr als die Hälfte des Systems umzudrehen, müssen Sie zunächst viele (unabhängige) Male hintereinander Glück haben, und die Wahrscheinlichkeit, dass dies geschieht, nimmt exponentiell mit der Systemgröße ab. Die "Tunnelamplitude" ist im Grunde die Wahrscheinlichkeit, dass dies nach vielen Monte-Carlo-Sweeps geschieht, und sie nimmt tatsächlich exponentiell mit der Systemgröße ab. Bei einem kleinen System schalten Sie schließlich in den anderen Grundzustand um, obwohl dies sehr lange dauern wird. Bei einem großen System wird es sehr lange dauern , und bei einem unendlichen System wird es nie ganz dort ankommen.

Wenn diese Analogie für Ihren Geschmack zu klassisch ist, können Sie sich stattdessen den Raum zufälliger Quantenschaltkreise vorstellen, mit Schaltkreisen, die nach einer Kostenfunktion gewichtet sind, die von den Hamilton-Matrixelementen abhängt, und die "Tunnelamplitude" zwischen zwei Quantenzuständen ist wie die Gesamtgewicht aller Zufallsschaltungen, die einen Zustand in den anderen überführen.

4.

Sie haben Recht, dass jeder endliche Wert von$h$bricht die Symmetrie. Für jedes System, selbst für ein unendliches, haben Sie das$m(h) \neq 0$wenn$h > 0$. Aber was ist mit der Grenze$h \to 0^+$? Eine Definition von SSB ist das Versagen der Grenzen$h \to 0^+$und$N \to \infty$pendeln. In der SSB-Phase nehmen Sie nach$N \to \infty$, du hast das$m(h)$hat eine Sprungstelle bei$h = 0$, so dass$m(0) = 0$aber$\lim \limits_{h \to 0^+} m(h) > 0$. Das meinen wir, wenn wir sagen, dass eine infinitesimale Störung$h$bricht die Symmetrie.

Es gibt bereits einige nette Antworten, aber ich gebe eine konkrete, auf den Punkt gebrachte für diejenigen, die es eilig haben.

Die Frage, auf die ich eingehen werde, ist

Warum sind Katzenzustände (wie GHZ-Zustände) physikalisch instabil?

Die Antwort ist

Weil eine generische Interaktion mit der Umgebung – egal wie klein – solche Zustände zusammenbrechen/entkoppeln wird.

Betrachten Sie zum Beispiel die übliche Ising-Kette, bei der ein einzelner Spin zufällig mit einem einzelnen Spin in der Umgebung interagiert:

$$H = - \left( \sum_{n=1}^{N-1} \sigma^z_n \sigma^z_{n+1} \right) - \varepsilon \; \sigma^z_1 \sigma^z_\textrm{env} \qquad (\textrm{with }\varepsilon >0).$$

Die Grundzustände des Katzenzustands werden sein

$$|\Psi_\pm \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow_1 \uparrow_2 \cdots \uparrow_N \uparrow_\textrm{env} \rangle \pm |\downarrow_1 \downarrow_2 \cdots \downarrow_N \downarrow_\textrm{env} \rangle \right).$$ Angenommen, wir haben keine (kohärente) Kontrolle/Wissen über die Umgebung, ist unsere effektive Beschreibung $$\rho_\textrm{system} = \textrm{Tr}_{\textrm{env}} \left( |\Psi_\pm\rangle \langle \Psi_\pm | \right) = \frac{1}{2} \left( \rho_+ + \rho_- \right),$$ wo$\rho_\pm$sind die symmetriegebrochenen Zustände des Systems (entsprechend$|\uparrow_1 \cdots \uparrow_N\rangle$und$|\downarrow_1\cdots \downarrow_N\rangle$).

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NB: Obiges erklärt auch, warum die GHZ-Zustände, die als Grundzustände topologischer fermionischer Ketten (z. B. der Kitaev-Kette) auftreten , stabil sind : Es gibt keinen lokalen Operator, der den zweidimensionalen Hilbert-Raum aufteilt, während die oben genannte Ursache dort war ein solcher lokaler Betreiber (dh$\sigma^z_1$), an die die Umgebung koppeln könnte (letztere fungiert als Messapparat).

Das Problem ist, dass, wenn man zum Beispiel über das Transversalfeld-Ising-Modell spricht, die Staaten$\Omega_\pm$wobei alle Spins Spin-$z$-Eigenwert$\pm 1$existieren im thermodynamischen Limes nicht im selben Hilbert-Raum.

Das scheint eine seltsame Aussage zu sein, also werde ich versuchen, es weiter zu erklären. Wenn wir direkt im thermodynamischen Limit arbeiten, sollten wir vorsichtig sein, welche Operatoren wir zulassen. In Anbetracht der Tatsache, dass Messgeräte nur endliche Größe haben, sollten wir nur lokale Operatoren zulassen, also solche Operatoren, die irgendwie ins Unendliche zerfallen (z. B. exponentiell oder mit endlichem Träger).

Dann für alle diese Operatoren$O$, wir haben das

$$\langle \Omega_-, O \Omega_+ \rangle = 0.$$

Das heißt, es gibt keinen Operator, der Sie abholt$\Omega_-$zu$\Omega_+$. (Dies hängt möglicherweise mit diesem "Tunneling Probability"-Geschäft zusammen). Dies ist jedoch genau die Definition eines Superselection-Sektors! Was Sie also dachten, ist der einzigartige symmetrische Grundzustand

$$\frac{\Omega_+ + \Omega_-}{\sqrt{2}}$$

ist keine Überlagerung, sondern tatsächlich eine statistische Mischung zweier symmetriegebrochener Zustände.