Wenn spontane Symmetriebrüche nur in unendlichen Systemen auftreten, warum beobachten wir dann ähnliche Effekte in endlichen Systemen?

Hintergrund

Kein SSB in endlichen Systemen

Stellen Sie sich ein System vor, das mit einem Wärmebad bei inverser Temperatur interagiert β , mit der resultierenden Dynamik des Systems, das von einem Liouvillian-Superoperator beschrieben wird L . Wenn dieses System endlich ist, dann unter ziemlich allgemeinen Bedingungen L , erwarten wir den Gleichgewichtszustand ρ , Bedeutung L ( ρ ) = 0 , eindeutig vom Gibbs-Staat zu geben

ρ g ich b b s = e − β H T r [ e − β H ] ,

wo H ist der Hamiltonoperator des Systems.

Lassen G sei die Symmetriegruppe des Hamiltonoperators, was bedeutet, dass es eine einheitliche Darstellung gibt U von G so dass [ H , U ( g ) ] = 0 für alle g ∈ G . Es ist klar, dass wir auch haben [ ρ g ich b b s , U ( g ) ] = 0 , also bewahrt der Gibbs-Zustand alle Symmetrien des Hamilton-Operators. In diesem Sinne scheint es in endlichen Systemen keine spontane Symmetriebrechung (SSB) geben zu können.

SSB in unendlichen Systemen (und KMS-Zuständen)

Die typische Erzählung fährt dann damit fort zu sagen, dass SSB tatsächlich auftreten kann, aber nur in unendlichen Systemen. Hier gibt es dafür keine Garantie e − β H ist Trace-Klasse, daher ist der Gibbs-Zustand im Allgemeinen nicht gut definiert. Um den Begriff eines "thermischen" Zustands auf unendliche Systeme zu erweitern, definiert man üblicherweise die sogenannten KMS-Zustände. Das sind die Staaten ϕ die die KMS-Bedingung erfüllen, die (informell) als angegeben werden kann

⟨ EIN ( t ) B ⟩ ϕ = ⟨ B ( t + ich β ) EIN ⟩ ϕ ,

für alle Betreiber EIN und B in der Operatoralgebra, wo ⟨ ⋅ ⟩ ϕ gibt einen Erwartungswert in Bezug auf den Zustand an ϕ . (Ich lasse alles weg C ∗ -Algebraische Details hier der Kürze halber.)

Es gibt eine große Menge an Literatur, die zeigt, dass KMS-Zustände die Eigenschaften bewahren, die wir als Schlüssel für die Definition eines thermischen Zustands betrachten, wie z. B. Gleichgewichtszustände, aber für unendliche Systeme wohldefiniert bleiben.

Für endliche Systeme glaube ich, dass die KMS-Bedingung eindeutig einen Zustand spezifiziert: den Gibbs-Zustand. Für unendliche Systeme ist dies jedoch nicht unbedingt der Fall, und grob gesagt tritt SSB auf, wenn mehrere KMS-Zustände vorhanden sind, von denen jeder nicht durch die Symmetriegruppe des Hamilton-Operators bewahrt wird.

Frage

Sowohl Experimente als auch numerische Simulationen zeigen Systeme mit einem Verhalten, das dem von SSB sehr ähnlich zu sein scheint (Ferromagnete existieren!). Diese realen Systeme sind jedoch eindeutig endlich, sodass die obigen Argumente darauf hindeuten würden, dass sie SSB nicht wirklich anzeigen können. Was ist die Erklärung für diese Diskrepanz?

Gedanken zu einer Antwort

Obwohl endlich, können reale Experimente oft ziemlich effektiv beschrieben werden, indem man die unendliche Größenbeschränkung nimmt. Wenn dies angemessen ist, kann die Dynamik dieser großen endlichen Systeme vielleicht gut durch unendliche Systeme angenähert werden, zumindest bis zu einer großen Zeitskala τ die vermutlich schnell mit der Systemgröße wächst. Dann könnten wir erwarten, dass diese endlichen Systeme SSB-Signaturen über die Zeitskala anzeigen τ , danach zerfallen sie in den Gibbs-Zustand und die Symmetrie wird wiederhergestellt. Wenn dies in die richtige Richtung geht, kann irgendetwas davon präzisiert werden?

Einige kurze Gedanken: 1) Der absolute Grundzustand ist eine makroskopische Überlagerung des symmetriebrechenden Zustands. 2). Die kleinste Menge an Kopplung wird die Kohärenz für diesen Katzenzustand zerstören. 3) Ich vermute, der kleinste Temperaturgibs-Zustand ist ein gemischter Zustand der symmetriegebrochenen Zustände, also insgesamt symmetrisch. Dies steht im Einklang mit Experimenten, bei denen Sie vorher nicht wissen, wie die Symmetrie gebrochen wird. Ich weiß nicht, wie ich das beweisen soll. Es könnte nur physikalisch sein, dass die makroskopische Tunnelzeit abweicht und es nie eine echte Thermalisierung des Gibs-Zustands gibt
Geht es um Quanten, Klassik oder beides?
Das klingt wie ein übermäßiger mathematischer Formalismus, der einen sehr einfachen physikalischen Punkt trübt. Vergessen Sie alles über Superoperatoren von Liouvillian, KMS-Staaten und C ∗ Algebren. Der Punkt ist, dass ein großes System entartete Grundzustände mit hohen Energiebarrieren zwischen ihnen hat. Im statistisch-mechanischen Fall ist die Zeitskala für thermische Fluktuationen zwischen ihnen sehr klein. Im Quantenfall ist eine Überlagerung von ihnen nicht stabil und löst sich sofort auf. In beiden Fällen sehen Sie das System also in einem einzigen Zustand mit gebrochener Symmetrie.
@NorbertSchuch, ich glaube, der KMS-Formalismus gilt gleichermaßen für Quanten- und klassische Fälle, also meine ich im Prinzip beide. Allerdings bin ich in Sachen SSB, Quantum oder Klassik noch ein relativer Laie, daher würden mich auch Antworten interessieren, die nur für das eine oder andere gelten.
@knzhou, stimmst du nicht zu, dass es einen qualitativen Unterschied zwischen endlichen und unendlichen Systemen gibt, wenn es um SSB geht? Entschuldigung, wenn die von mir erwähnte Mathematik den Punkt verschleiert hat, aber ich glaube, dass die zugrunde liegende Logik richtig ist. In Bezug auf Ihren Punkt zu instabilen Katzenzuständen habe ich zwei Verwirrungspunkte: i) Wie erstreckt sich dies auf endliche Temperaturen? ii) Warum sollte der Gleichgewichtszustand selbst bei 0T ​​ein reiner Zustand sein? Könnte es nicht eine gleiche Mischung der Grundzustände sein, die symmetrieinvariant wäre? In der Tat ist dies das, was Sie bekommen, wenn Sie das Limit nehmen β → ∞ des Staates Gibbs.
@OliverLunt Nein, es gibt keinen qualitativen Unterschied zwischen endlichen und unendlichen Systemen, da jede physikalische Eigenschaft eines unendlichen Systems beliebig gut durch eine ausreichend große endliche angenähert werden sollte. Wenn Sie eine Größe finden, die dieser Regel nicht gehorcht (dh wo der unendliche Fall völlig anders aussehen würde als jeder endliche Fall, egal wie groß), dann wäre sie für alle physikalischen Zwecke irrelevant, weil es keine unendlichen Systeme gibt.
Im klassischen Fall können Sie die Grundzustände nicht mischen; Der Magnet zeigt entweder so oder so. Im Quantenfall wird jede Überlagerung der beiden bei Wechselwirkung mit fast allem anderen sofort dekohären. (Oder anders gesagt, jedes vorbeikommende geladene Teilchen "misst" die Richtung und kollabiert daher die Überlagerung.) Bei endlicher Temperatur wird ein Tunneln zwischen den Grundzuständen durch thermische Fluktuationen möglich, aber das ändert nicht viel an den Schlussfolgerungen.
@knzhou, was du über endliche vs. unendliche Systeme sagst, scheint vernünftig. Das Argument, das ich für "kein SSB in endlichen Systemen" vorgebracht habe, ist jedoch sehr einfach. Wollen Sie damit sagen, dass diese Argumentation einen Fehler hat?
@knzhou, ich stimme zu, dass ein reiner Zustand, der aus einer symmetrischen Überlagerung von symmetriebrechenden Zuständen besteht, gegenüber Dekohärenz instabil sein sollte. Wie ich in meinem vorherigen Kommentar erwähnt habe, bin ich mir jedoch nicht sicher, warum der Gleichgewichtszustand (der für SSB relevant ist, richtig?) Ein reiner Zustand und kein gemischter Zustand sein sollte. Die Grenze nehmen β → ∞ des Gibbs-Zustands gibt Ihnen einen gleichen gemischten Zustand aller Grundzustände, der unter jeder Symmetrie des Hamilton-Operators unveränderlich ist.
@OliverLunt Ja, aber es ist eine Sache, mathematisch zu postulieren, dass sich das System im Gibbs-Zustand befindet, und eine ganz andere Sache, es im Labor in diesen Zustand zu versetzen . Es ist, als würde man jemanden bitten, eine Schrödinger-Katze zuzubereiten. Der mathematische Formalismus berücksichtigt keine externen Störungen.
@knzhou Ich bin mir nicht sicher, was du meinst. Es gibt zahlreiche experimentelle Beweise dafür, dass der Zustand eines Systems, das dem thermischen Gleichgewicht überlassen wird, eine (gut angenäherte) Gibbs-Verteilung sein wird.
@OliverLunt Bei hohen Temperaturen, sicher. Aber für niedrige Temperaturen beschreibt die Gibbs-Verteilung ein System im thermischen Gleichgewicht mit einem idealen Thermalbad bei Nulltemperatur – das heißt, ein perfekt isoliertes System. Das ist der Teil, der unrealistisch ist. Egal wie hoch die Temperatur ist, die Gibbs-Verteilung kann das Feld des Kühlschrankmagneten im anderen Raum oder das Einschalten einer Mikrowelle im Flur oder eine Verunreinigung im Kristall nicht berücksichtigen, da dies nicht Teil eines Ideals ist Thermalbad. Bei niedrigeren Temperaturen werden diese Effekte relativ wichtiger.
Hier ist eine andere Möglichkeit, es auszudrücken. Alle Zustände sind wirklich rein; Sie verwenden gemischte Zustände nur dann, wenn Ihnen Informationen fehlen (z. B. über das System selbst oder vielleicht den Zustand der Umgebung). Also vielleicht kannst du das sagen T = 0 Der Zustand eines Magneten ist gemischt, weil ein Student den Magneten für Sie abgekühlt hat und Sie nicht wissen, in welche Richtung er letztendlich zeigt. Aber Sie können einfach in den Raum kommen und ihn betrachten , in diesem Fall können Sie ihn als reinen Zustand behandeln. (Dies ist einfach nur eine andere Art, die Sache mit der Dekohärenz/Messung zu formulieren, die ich zuvor gesagt habe.)
Während es für physikalische Systeme kaum einen Unterschied macht, sind mathematisch unendliche und endliche Systeme sehr unterschiedlich. Für endliche Systeme gibt es keine Dechorenz, es gibt immer eine Wiederholungszeit, in der der ursprüngliche Zustand wieder auftritt. Diese Zeit geht ins Unendliche, wenn die Systemgröße zunimmt, und Teilsysteme können scheinbar thermalisieren, wie dies bei unendlichen Systemen der Fall ist. Aber bei unendlichen Systemen breitet sich die Information über den Anfangszustand ins Unendliche aus und das System wiederholt sich nie.

Antworten (2)

Genau diese Frage wird von NP Landsman aufgegriffen und konsequent behandelt . Die Erklärung ist, dass im Großen und Ganzen N Grenze wird der symmetrische Grundzustand exponentiell empfindlich gegenüber asymmetrischen Störungen, während die ersten angeregten Zustände, obwohl instabil, dem symmetrischen Zustand energetisch sehr nahe kommen und in jeder Richtung exponentiell langsam abfallen, wodurch sich das System dynamisch bereits in einem Zustand mit gebrochener Symmetrie befindet endlich durch sehr groß N .

Ich bin mir nicht sicher, ob das zu deinem Rätsel passt, aber: wenn du so etwas schreibst [ ρ , G ] , denken Sie darüber nach, die Symmetrieexistenz zu messen, indem Sie den Erwartungswert des Operators selbst betrachten. Allerdings sollten Sie die Symmetrie ganz im Sinne der Quantentheorie mit der Erwartung anderer Korrelatoren als der Operatoren selbst definieren.

Vielleicht finden Sie hier die Anmerkung von Lec.1 hilfreich, die das transversale Ising-Modell als Beispiel verwendet, und die SB-Definition wird auf S.9 erwähnt

https://learning-modules.mit.edu/materials/index.html?uuid=/course/8/fa17/8.513#materials

Hallo, ich weiß, das ist schon eine Weile her, aber hättest du etwas dagegen, die Vorlesungsnotiz zu teilen, die du hattest? Ich konnte selbst nicht darauf zugreifen ... Vielen Dank im Voraus.
Wenn spontane Symmetriebrüche nur in unendlichen Systemen auftreten, warum beobachten wir dann ähnliche Effekte in endlichen Systemen?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v