Was ist spontane Symmetriebrechung in Quantensystemen?

Ich habe gerade diese sehr interessante Website über die Homepage von Prof. Wen entdeckt. Danke Prof. Wen für die sehr interessante Frage. Hier meine vorläufige "Antwort":

Die spontane Symmetriebrechung im Grundzustand eines Quantensystems kann definiert werden als die weitreichende Verschränkung zwischen zwei beliebigen weit voneinander entfernten Punkten in diesem System in jedem Grundzustand, der die globalen Symmetrien des Systems bewahrt.

Genauer gesagt bezeichnen$G$als Symmetriegruppe des Systems und$|\Psi\rangle$ein Grundzustand, der eine 1d-Darstellung von trägt$G$. Für einen Ising-Ferromagneten wird der Grundzustand sein$|\Psi_\pm\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\text{all up}\rangle \pm |\text{all down}\rangle\right)$. Betrachten Sie dann zwei Punkte 1 und 2, die durch die Entfernung getrennt sind$R$im Raum und zwei kleine Kugeln um die Punkte 1 und 2 mit Radius$r\ll R$, bezeichnet durch$B_1$und$B_2$. Definieren$\rho_1$,$\rho_2$und$\rho_{12}$als Matrizen reduzierter Dichte der Region$B_1$,$B_2$und$B_1+B_2$, und entsprechend die Entropie$S_{1}=-tr(\rho_1\log \rho_1)$(und ähnlich für$2$und$12$). Die gegenseitige Information zwischen den beiden Regionen ist definiert als$I_{12}=S_1+S_2-S_{12}$. Wenn$I_{12}> 0$in dem$R\rightarrow \infty$Grenze für alle symmetrischen Grundzustände wird das System als in einem spontanen symmetriebrechenden Zustand betrachtet.

Am Beispiel von Ising FM,$S_{12}=\log 2$für beide Grundzustände$|\Psi_\pm\rangle$.

Ich fürchte, es ist nur eine Umformulierung von ODLRO, aber es könnte eine alternative Möglichkeit sein, spontane Symmetriebrüche zu betrachten.

Diese von Prof. Wen gestellte Frage ist so tiefgreifend, dass ich mich beeilt hatte zu antworten. So motiviert auch immer Jimmys aufschlussreiche Antwort, entschied ich mich schließlich, an der Diskussion teilzunehmen und meine unausgereiften Ideen zu teilen.

1) Quanten-SSB ist eine nichtlineare Quantendynamik jenseits der Beschreibung der Schordinger-Gleichung.

In Bezug auf das in den Kommentaren zur Frage erwähnte Transversalfeld-Ising-Modell mit einem kleinen B-Feld ist der Grundzustand ein Schordinger-Katzenzustand. Die Frage, wie passiert das SSB in der$B\to 0$Grenze ist dasselbe wie die Frage, wie der Katzenzustand zu einem bestimmten Zustand von Leben oder Tod zusammenbricht. Die Schlüsselrolle spielt dabei die Quantendekohärenz. Quantendekohärenz ist jedoch eine irreversible Dynamik mit Entropieproduktion, die meines Erachtens nicht durch die lineare Dynamik der Quantenmechanik beschrieben werden kann, die die Entropie bewahrt. Um Quanten-SSB zu verstehen, müssen wir möglicherweise zuerst die Dynamik der Quantendekohärenz verstehen.

2) Quanten-SSB ist ein Ergebnis der Informationsrenormierung, die durch das Tensornetzwerk RG beschrieben werden kann.

Der Schlüssel zum Verständnis der Quantendekohärenz liegt darin, zu verstehen, wie Entropie erzeugt wurde. Es war lange Zeit ein Rätsel, woher die Entropie stammt? Bis Shannon Entropie mit Information in Verbindung brachte, begannen wir zu erkennen, dass Entropie aufgrund des Informationsverlusts entsteht. In den Experimenten gehen zwangsläufig Informationen verloren, weil wir nur endlich viele Daten sammeln und verarbeiten können. Da alle Experimente unter einer endlichen Energie- und Informations- (oder Entropie-) Skala durchgeführt werden, ist für Physiker nur die effektive Theorie mit niedriger Energie und niedriger Information von Bedeutung. Die Technik der Renormierungsgruppe (RG) wurde entwickelt, um die Niederenergie-Effektivtheorie erfolgreich zu erhalten. Jetzt müssen wir das informationelle RG entwickeln, um die Theorie der niedrigen Informationseffektivität zu erhalten. DMRG und Tensornetzwerk-RG, die in den letzten Jahren entwickelt wurden, sind in der Tat Beispiele für Informations-RG. Durch das Abschneiden der Dichtematrix geht Quanteninformation verloren und gleichzeitig wird Entropie produziert, was Quantendekohärenz und Quanten-SSB ermöglicht. Tatsächlich kann Quanten-SSB meines Wissens sowohl im DMRG als auch im Tensornetzwerk RG beobachtet werden. Entlang dieser Denkrichtung ist Quanten-SSB kein Endzustand der Zeitentwicklung unter linearer Quantendynamik, sondern ein Fixpunkt der Informations-RG des Quanten-Vielteilchenzustands, der nichtlinear ist und über unser aktuelles Lehrbuchverständnis von Quanten hinausgeht Mechanik. Quanten-SSB kann meines Wissens sowohl im DMRG als auch im Tensornetzwerk RG beobachtet werden. Entlang dieser Denkrichtung ist Quanten-SSB kein Endzustand der Zeitentwicklung unter linearer Quantendynamik, sondern ein Fixpunkt der Informations-RG des Quanten-Vielteilchenzustands, der nichtlinear ist und über unser aktuelles Lehrbuchverständnis von Quanten hinausgeht Mechanik. Quanten-SSB kann meines Wissens sowohl im DMRG als auch im Tensornetzwerk RG beobachtet werden. Entlang dieser Denkrichtung ist Quanten-SSB kein Endzustand der Zeitentwicklung unter linearer Quantendynamik, sondern ein Fixpunkt der Informations-RG des Quanten-Vielteilchenzustands, der nichtlinear ist und über unser aktuelles Lehrbuchverständnis von Quanten hinausgeht Mechanik.

Bei Zeng und ich haben ein Papier geschrieben http://arxiv.org/abs/1406.5090 , das sich mit dieser Frage befasst:

Eine symmetriebrechende Phase für die endliche Gruppe G ist eine gLU-äquivalente Klasse, die durch symmetrische Vielteilchenzustände mit GHZ-Verschränkung gebildet wird.

Mit anderen Worten, eine Symmetriebrechungsphase ist eine Menge von

1. symmetrische Zustände$U_g \Psi = \Psi$bis zu einer Phase,$g \in G$, und
2. diese symmetrischen Zustände haben die gleiche GHZ-Verschränkung$\Psi = \sum_\alpha \Psi_\alpha ,\ \ \alpha \in G/H,\ \ H\ \subset G$, wo$\Psi_\alpha$sind lokal unterscheidbar.

Wir sagen, dass diese symmetrischen Zustände äquivalent sind. Die Menge äquivalenter symmetrischer Zustände ist eine Symmetriebrechungsphase.

Also Symmetriebruch = GHZ-Verschränkung , die paarweise klassifiziert werden$(G , H),\ H \subset G$.

Etwas präziser:

1. Ein symmetrischer Vielteilchenzustand mit spontaner Symmetriebrechung impliziert, dass der Zustand eine GHZ-Verschränkung aufweist.

2. Man kann spontane Symmetriebrüche in einem symmetrischen Vielteilchenzustand auch ohne Kenntnis des Gruppen- und/oder Ordnungsparameters der Symmetrie erkennen. Man kann eine spontane Symmetriebrechung in einem symmetrischen Vielteilchenzustand nur unter Verwendung von Sonden nachweisen, die die Symmetrie respektieren.

3. Der symmetrische exakte Grundzustand eines generischen symmetrischen Hamiltonoperators hat eine spontane Symmetriebrechung genau dann, wenn er eine GHZ-Verschränkung aufweist.

Ich bin sicher, Prof. Wen versteht diese Frage sehr gut und postet dies nur, um einige Diskussionen anzuregen. Also werde ich einfach weitermachen und meine 2 Cent geben.

Eine klassische spontane Symmetriebrechung tritt auf, wenn der klassische Grundzustand die Symmetrie des Hamilton-Operators bricht. Beispielsweise tritt bei einem klassischen Ising-Modell in 1D eine spontane Magnetisierung in einer bestimmten Richtung bei niedrigem T auf, was die bricht$S\rightarrow-S$Symmetrie des Hamiltonoperators.

Eine spontane Quantensymmetriebrechung bedeutet nicht unbedingt, dass der Quantengrundzustand die Symmetrie des Hamilton-Operators bricht; stattdessen ist es durch die Aufspaltung der Grundzustandsentartung gekennzeichnet. Sagen Sie im Fall des transversalen Ising-Modells:$H=-\sum{S_i^z S_j^z}-B\sum{S_i^x}$. Der Grundzustand des Hamiltonoperators ist sehr klein$B$ist die Überlagerung aller Spin-Ups und aller Spin-Downs, die noch das hat$S_z\rightarrow -S_z$Symmetrie; aber jetzt geht die Entartung des Grundzustands verloren – der Grundzustand ist jetzt einzigartig, anstatt eine zweifache Entartung zu haben.

Dies ist nur eine vorläufige Antwort, also zögern Sie nicht, mich zu korrigieren / die Antwort zu verbessern.

Ich denke, eine Möglichkeit, spontane Symmetriebrechungen in Quantensystemen zu visualisieren, ist die folgende:

Der Hilbert-Raum der Theorie ist unendlich dimensional. Bei einem gegebenen Hamilton-Operator besteht eine Methode zum Suchen von Näherungslösungen seines Spektrums darin, ein Variationsprinzip in Bezug auf einen endlichdimensionalen Hilbert-Raum von Versuchsfunktionen zu formulieren.

In vielen Fällen, wenn es eine kontinuierliche Symmetriegruppe gibt$G$des Hamiltonoperators kann die Mannigfaltigkeit der Versuchsfunktionen als homogene Symplektik gewählt werden$G$-Raum, was impliziert, dass die (Lie-Algebra von ) Symmetriegruppe alle Observablen erzeugt und der ungefähre Hamilton-Operator ein Element in der universellen Hüllalgebra ist.

Auf diesen Arten von Mannigfaltigkeiten sind die Quanten- und die klassische Dynamik sehr ähnlich und bieten eine einfache Beziehung zwischen dem klassischen und dem Quantenbild der spontanen Symmetriebrechung;

Explizit: Wenn der (ungefähre) klassische Hamilton-Operator auf der Versuchsfunktions-Mannigfaltigkeit ein Minimum bei einem nicht verschwindenden Erwartungswert eines Generators annimmt, wird das Vakuum des Quanten-Hamilton-Operators auf die Quantisierung dieser Mannigfaltigkeit entartet.

Ein mögliches Verständnis von SSB in Quantensystemen könnte das folgende sein: Wir alle wissen, dass es klassischerweise eine Mannigfaltigkeit des Grundzustands gibt und man sich dafür entscheiden kann, den Grundzustand an einem Punkt zu lokalisieren, der die Symmetrie bricht. In Quantensystemen kann man jedoch aufgrund des Superpositionsprinzips Linearkombinationen bilden, die die Symmetrie wiederherstellen. SSB bedeutet jedoch, dass es für die niederenergetischen Zustände eine bestimmte Basis gibt (das sind die "klassischen" Zustände), so dass, wenn man sich die Matrixelemente lokaler physikalischer Operatoren (Operatoren mit lokaler Unterstützung) zwischen verschiedenen Basen ansieht heißt, sie verschwinden immer im thermodynamischen Limes. Dies könnte eine Quantencharakterisierung von SSB liefern, obwohl ich nicht ganz überzeugt bin, dass dies ausreichend und notwendig ist.

Offensichtlich gibt es in der obigen Definition ein gewisses Handschwenken, da wir von "Basis" nur für Niedrigenergiezustände sprechen. Aber ich finde es immer noch eine nützliche Möglichkeit, SSB zu verstehen.

Eine Möglichkeit, das Quantensystem zu untersuchen, die der Diskussion in der klassischen Physik sehr ähnlich ist, besteht darin, die (quanten-)effektive Aktion zu verwenden: Berechnen Sie die Zustandssumme$Z[B]$als Funktion des externen Feldes. Dann$\beta\log(Z)$ist die freie Energie$F$und$\partial F/\partial B$ist die Magnetisierung$m$. Führen Sie nun eine Legendre-Transformation durch, um die quantenwirksame Aktion zu erhalten$\Gamma[m]$. Dann suchen wir nach einer effektiven Aktion, die die Form des Physik-Stackexchange-Logos hat (mit der üblichen Einschränkung, dass die effektive Aktion streng genommen immer konvex ist).

Die beste Antwort, die mir eingefallen ist, ist arXiv:1205.4773v1

Spontaner Symmetriebruch in der nichtrelativistischen Quantenmechanik

R. Munoz, A. Garcia-Quiroz, Ernesto Lopez-Chavez, Encarnacion Salinas-Hernandez

The advantages and disadvantages of some pedagogical non-relativistic
quantum-mechanical models, used to illustrate spontaneous symmetry breakdown,
are discussed. A simple quantum-mechanical toy model (a spinor on the line,
subject to a magnetostatic interaction) is presented, that exhibits the
spontaneous breakdown of an internal symmetry. 

Kommentar: 19 Seiten, 5 Abbildungen. arXiv-Administratorhinweis: Wesentliche Textüberschneidung mit arXiv:1111.1213

Soweit SSB die Existenz einer willkürlich weitreichenden Ordnung bei raumartiger Trennung verursacht oder ihr entspricht, kann es im Hinblick auf eine Verletzung der Clusterzerlegung verständlich sein. Als solches entspricht SSB der Existenz eines Satzes von Vakuumvektoren im Hilbert-Raum, der unter der Wirkung der Feldoperatoren unveränderlich ist (innerhalb des axiomatischen Ansatzes von Wightman besteht ein Teil des Beweises des Wightman-Rekonstruktionssatzes darin, diese Clusterzerlegung zu zeigen , eine Eigenschaft der VEVs, ist äquivalent zur Reduzierbarkeit des Hilbert-Raums).

Immer wenn die Observablen einer Theorie eine nicht triviale Teilmenge der Menge von Operatoren sind, die aus den Feldoperatoren konstruiert werden können, typischerweise weil die Observablen unter der Wirkung einer gewissen Symmetrie unveränderlich sein müssen, ist der Vakuumzustand unter der Wirkung von reduzierbar die Observablen, und es kommt zu einer Verletzung der Cluster-Zerlegung.

Die Cluster-Zerlegung wird weitgehend durch die Einführung von Eichfeldern wiederhergestellt (von denen ich annehme, dass sie nicht Teil von SSB sind, obwohl man natürlich annehmen könnte, dass SSB die Einführung von Eichfeldern beinhaltet). Mir ist nicht klar, ob die Clusterzerlegung durch die Einführung von Eichfeldern vollständig wiederhergestellt wird.

BEARBEITEN: Das ist für mich mäßig intuitiv, aber wenn ich mich auf Ihren letzten Absatz konzentriere, wird es den meisten Menschen wohl nicht bildlich erscheinen - und es ist nur ein wenig bildhaft für mich. Ich nehme an, dass es hauptsächlich auf algebraischer Intuition beruht.

Das Analoge sind Superselection-Sektoren. Wenn eine Symmetrietransformation, die auf einen Quantenzustand einwirkt, ihn in einen anderen Superselektionszustand versetzt, sagen wir, dass die betreffende Symmetrie spontan gebrochen ist.

Die Antwort liegt in der Dekohärenz. Wenn bei klassischen Systemen ein Subsystem eine Symmetrie bricht, bricht auch das System als Ganzes die Symmetrie. nicht so in der Quantenmechanik wegen der Verschränkung. Hier liegt die Komplikation.

Denken Sie an die Zeigerzustände von Zurek. da liegt der hinweis. Ich kann Ihnen einen Vielkörper-Quantenzustand geben, der unter der fraglichen Symmetrie buchstäblich invariant ist, aber wenn er in dekohärente Zeigerzustände zerfällt, die nicht invariant sind, können Sie sagen, dass die Symmetrie spontan gebrochen ist? aber zureks analyse funktioniert nur für offene systeme.

kann dies für endliche geschlossene Systeme funktionieren? leider nein wegen poincare rezidiven. Wir könnten naiv denken, dass eine Symmetrie spontan gebrochen wird, aber warten Sie lange genug und die geringfügigen (oder nicht so geringfügigen) Energieunterschiede zwischen den verschiedenen Energieeigenwerten, die verschiedenen Irreps entsprechen, führen zu einer Auswaschung der Phasenunterschiede in den Energieeigenzuständen und tragen Informationen zum Symmetriebruch bei .

Was sind die Zeigerzustände von Zurek? diejenigen, die Informationen am längsten bewahren und gleichzeitig die dynamische Erzeugung von Verschränkungen mit der Umgebung minimieren. Manchmal erzeugt ein unter einer Symmetrie unveränderlicher Zeigerzustand eine stärkere Verschränkung mit der Umgebung als ein nicht unveränderlicher.

Komplikationen gibt es zuhauf. Nehmen Sie eine Ansammlung von Helium-4-Atomen bei einer niedrigen Temperatur. superflüssige Phase. u(1)-Symmetrie entsprechend der Anzahl der He-4-Atome. Legen Sie die Atome in eine sehr abgedichtete Kiste, wo nicht einmal ein einziges He-4-Atom passieren kann, aber Informationen können passieren. idealisiert, ja, aber ertrage es mit mir. Quantenzustand mit einem festen spezifischen Wert für die Anzahl der He-4-Atome. invariant unter u(1)? Was sind die Zeigerzustände? leider keine kondensatzustände mit einer überlagerung in anzahl von he-4-atomen? aber die dynamische Erzeugung der Umgebungsverschränkung bleibt in jedem Fall klein: feste Atomzahl und Kondensat. nur dass über sehr lange Zeiträume eine feste Atomzahl etwas mehr Verschränkung aufweist. weil dynamische Prozesse, die empfindlich auf die Gesamtzahl von He-4-Atomen reagieren, dominieren werden, aber nur wegen der absoluten Unterdrückung der Permeabilität. unrealistisch, oder?

aber mach locker. Dose leicht durchlässig machen. Lassen Sie einfach nach relativ langer Zeit nur ein oder zwei He-4-Atome passieren. voila? Zeigerzustand ändert sich zugunsten von Kondensaten? noch verwirrt? Die Anzahl der He-4-Atome in der Umgebung befindet sich in einer Überlagerung, die mit der Anzahl der He-4-Atome in der Box verschränkt ist. DIE UMGEBUNG!!! Die Symmetrie muss in der Umgebung gebrochen werden , nicht im System.

aber was ist mit dem Universum als Ganzes? es hat keine äußere Umgebung. aah, aber es gibt keine globalen Symmetrien in der Quantengravitation. ok, was ist dann mit Eichsymmetrien? Oh Junge, noch eine riesige Dose Würmer. Was ist spontane Symmetriebrechung in QUANTUM GAUGE-Systemen? das ist eine weitere Frage wert.

Diese Frage scheint auf einer falschen Prämisse zu beruhen, nämlich dass Systeme, die klassischerweise nichtlinear sind, linear sind, wenn sie quantisiert werden. Tatsächlich ist eher das Gegenteil der Fall. Beispielsweise sind die Maxwell-Gleichungen im Vakuum genau linear, aber in der QED gibt es eine Nichtlinearität aufgrund von Wechselwirkungen, die durch Elektronenschleifen vermittelt werden.

Die Quantenmechanik ist auf der Ebene der Schrödinger-Gleichung linear. Interpretiert man die Wellenfunktion als Quantenanalog einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die klassische Mechanik auch auf dieser Ebene linear. ZB wenn ein System im Zustand ist$A_i$mit Wahrscheinlichkeit$p_i$für alle$i$, und die Chance, aus der es sich entwickeln wird$A_i$zu$B$ist$q_i$, dann die Chance, dass es im Staat endet$B$ist$\sum_i p_i q_i$. Klassischerweise kann es keine nichtlineare Wechselwirkung zwischen den Alternativen geben, da nur eine von ihnen tatsächlich eintritt. Die Quantenmechanik bewahrt diese Linearität, obwohl die Begründung dafür mit einer zugrunde liegenden klassischen Realität nicht mehr funktioniert.

Wenn Sie klassischerweise mit einer gleichmäßigen (oder zumindest symmetrischen) Verteilung über Mikrozustände einer Flüssigkeit beginnen und diese kristallisieren lassen, erhalten Sie am Ende eine symmetrische Verteilung über alle möglichen Orientierungen des resultierenden Kristalls. In gewissem Sinne ist das System immer noch symmetrisch, wenn Sie "das System" als diese Wahrscheinlichkeitsverteilung nehmen, aber niemand auf der Welt kann diese Symmetrie sehen; sie sehen nur eine bestimmte Ausrichtung des Kristalls. Im QM passiert das gleiche.