Hamiltonoperator für das periodische Kitaev-Modell

Der Hamiltonoperator für ein System spinloser Fermionen an einer 1D-Kette (mit chemischem Potential μ = 0 ) ist gegeben durch

H = − ∑ J ( C J + 1 † C J + H . C . ) + Δ ∑ J ( C J + 1 † C J † + H . C . )
Wo Δ ist eine Zahl. Wenn wir vorstellen
C J = 1 N ∑ k e ich k J C k
Wir erhalten das folgende Ergebnis:

H = ∑ k ξ ( k ) C k † C k + Δ ∑ k ( e − ich k C k † C − k † + e ich k C k C − k )

Wo ξ ( k ) = − 2 cos ⁡ ( k ) Ich versuche, diesen Hamiltonoperator in Matrixform darzustellen, indem ich den Nambu-Operator verwende

ϕ k = ( C k C − k † )

Zahlreiche Texte geben es als

H = ∑ k ϕ k † ( ξ ( k ) 2 ich Δ Sünde ⁡ ( k ) − 2 ich Δ Sünde ⁡ ( k ) − ξ ( k ) ) ϕ ( k )
Wenn ich das Obige jedoch ausdehne, bekomme ich meinen ursprünglichen Kopplungsterm nicht zurück – stattdessen bekomme ich ihn
Δ ∑ k ( e − ich k C k † C − k † − e ich k C k † C − k † + e ich k C k C − k − e − ich k C k C − k )

Ich sehe das ein, um meine alte Koppelfrist zu erhalten, muss ich das lassen e ich k C k † C − k † = e − ich k C k C − k = 0 , aber ich kann mir nicht erklären warum. Kann mir bitte jemand bei diesem Schritt helfen? Hier ist eine ähnliche Frage, die in einem Problemsatz einer deutschen Universität zu Ihrer Information gestellt wird: http://users.physik.fu-berlin.de/~romito/qft2011/set6.pdf

Antworten (2)

Achten Sie zunächst auf die Faktoren 2 und Sünde ⁡ ( k ) s in Ihrer Zeile 3 (nachdem Sie die Fourier-Transformation durchgeführt haben).

Zweitens möchten Sie diese Terme nicht auf Null setzen.

Denken Sie stattdessen daran k ist nur ein Dummy-Index. Ich könnte jeden Begriff als separate Summe betrachten, und für einige von ihnen werde ich festlegen k → − k . Dann

− e ich k C k † C − k † → − e − ich k C − k † C k † = + e − ich k C k † C − k †

... und dieser Typ wird einfach in die erste Amtszeit aufgenommen.

Eine andere Möglichkeit, darüber nachzudenken, ist, dass wir streng genommen die Summe im Nambu-Hamilton nur als Zählmodi mit betrachten sollten k ≥ 0 , und dann brauchen wir beide Arten von Termen, da man dann am Ende auch die ursprünglichen Terme mitzählt k ≤ 0 . Die Leute neigen jedoch dazu, mit dieser Notation sehr schlampig umzugehen.

Dies liegt an der Diagonalisierung mit dem Staat Nambu. Wenn Sie brauchen ( C k , C − k † ) , müssen Sie auch handhaben C − k C − k † Term im Hamiltonian. C J † C J + 1 † und es ist auch sein hc zu berücksichtigen, das durch die Antikommutierungsbeziehung bestimmt werden kann. Jedoch,

H = ∑ k ξ ( k ) C k † C k + Δ ∑ k ( e − ich k C k † C − k † + e ich k C k C − k )
haben keine derartigen Bedingungen im Bundesstaat Nambu. Also müssen wir die Antikommutierungseigenschaften von c und verwenden C † um die richtige Form der Diagonalisierung im Nambu-Zustand zu erhalten:

Ändern Sie den Hamilton-Operator von:

H = − ∑ J ( C J + 1 † C J + H . C . ) + Δ ∑ J ( C J + 1 † C J † + H . C . )

sein

H = − ( 1 / 2 ) ∑ J ( C J + 1 † C J − C J C J + 1 † + H . C . ) + ( 1 / 2 ) Δ ∑ J ( C J + 1 † C J † − C J † C J + 1 † + H . C . ) .
Dann können Sie es im k-Raum und im Nambu-Zustand ausarbeiten, um eine Matrixform zu bilden ....

Führen Sie hier eine Fourier-Transformation für den zweiten Term durch:

( 1 / 2 ) Δ ∑ k ( e − ich k A C k † C − k † − e ich k A C k † C − k † + e ich k C k C − k − e − ich k C k C − k ) ,

führt zu:

ich Δ ∑ k ( − S ich N ( k A ) C k † C − k † + S ich N ( k A ) C k C − k ) .

Wenden wir jedoch eine weitere Antikommutierung an e ich k C k † C − k † Und e − ich k C k C − k Begriff, werden wir am Ende mit:

Δ ∑ k ( e − k A C k † C − k † + e k A C k C − k ) .

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