Wenn wir ein topologisch geordnetes System auf Nulltemperatur herunterkühlen, wird es dann in einem reinen oder gemischten Grundzustand landen?

Wenn ein Quantensystem mit entarteten Grundzuständen bei Nulltemperatur vollständig ergodisch ist, wird es maximal über die Grundzustands(GS)-Mannigfaltigkeit gemischt; dh seine Dichtematrix ρ ist der Projektionsoperator auf den Eigenraum der Hamilton-Funktion mit der niedrigsten Energie.

Wenn aber die GS-Entartung aus einer globalen Symmetrie resultiert, dann finden wir experimentell immer wieder, dass sich das System nicht im ergodischen Mischzustand befindet, sondern in einem symmetriebrechenden Reinzustand. Zum Beispiel für das transversale Quanten-Ising-Modell mit degeneriertem "all up" | ↑ ⟩ und "alles runter" | ↓ ⟩ Grundzustände finden wir niemals ein experimentelles System im ergodischen und symmetrisch gemischten Zustand ρ = 1 2 | ↑ ⟩ ⟨ ↑ | + 1 2 | ↓ ⟩ ⟨ ↓ | , sondern in einem von zwei asymmetrischen reinen Zuständen | ↑ ⟩ oder | ↓ ⟩ .

(Wie diese Aussage genau zu interpretieren ist, ist eine äußerst subtile Angelegenheit - es genügt zu sagen, dass kein Experimentator jemals eine Zählerablesung sieht " S ich z = 0 ", sondern entweder " S ich z = + 1 2 " oder " S ich z = − 1 2 ". Einige würden argumentieren, dass das System aus der Viele-Welten-Perspektive in solch einer inkohärenten Mischung ist , aber mit dem Experimentator so verstrickt ist, dass er nicht beide Zweige gleichzeitig sehen kann.)

Betrachten Sie nun ein System, bei dem die GS-Entartung nicht aus einer globalen Symmetrie, sondern aus einer topologischen Ordnung resultiert – beispielsweise eine physikalische Realisierung des torischen Codes mit periodischen Randbedingungen, dessen GS-Mannigfaltigkeit eine robuste (topologisch geschützte) vierfache Entartung aufweist. Wenn wir ein solches physikalisches System auf Nulltemperatur herunterkühlen würden, ohne besondere Anstrengungen zu unternehmen, um die Quantenkohärenz aufrechtzuerhalten, in welchen Zustand würde es geraten?

Ich könnte mir drei plausible Möglichkeiten vorstellen:

  1. Der ergodische, maximal gemischte Zustand
    ρ = 1 4 | 1 ⟩ ⟨ 1 | + 1 4 | 2 ⟩ ⟨ 2 | + 1 4 | 3 ⟩ ⟨ 3 | + 1 4 | 4 ⟩ ⟨ 4 | .
  2. Ein reiner minimal verschränkter Zustand (MES).
  3. Ein zufälliger reiner Grundzustand (dh eine kohärente Überlagerung der vier MES mit zufälligen Koeffizienten).

Das Argument für Möglichkeit Nr. 2 ist analog zur globalen Symmetriebrechung, bei der die ergodische Mischung über die gesamte GS-Mannigfaltigkeit in einen von wenigen "speziellen, physikalisch natürlichen" reinen Zuständen (im Fall der globalen Symmetriebrechung Zustände wie | ↑ ⟩ Und | ↓ ⟩ die die Cluster-Zerlegungseigenschaft respektieren). Das Argument für Möglichkeit Nr. 1 ist, dass für den torischen Code alle reinen Zustände in der GS-Mannigfaltigkeit die Clusterzerlegung respektieren, sodass es keinen Grund für die Dekohärenz gibt, die Ergodizität zu brechen. Das Argument für Möglichkeit Nr. 3 ist, dass die Dekohärenz die Ergodizität wie in globalem SSB in einen reinen Zustand herunterbrechen würde, aber da alle Zustände in der GS-Vielfalt die Clusterzerlegung respektieren, sind die Nicht-MESs physikalisch genauso natürlich wie die MESs.

Gibt es einen Konsens darüber, welche dieser Möglichkeiten in einem realen Experiment beobachtet werden würden?

Nr. 1 und Nr. 3 sind tatsächlich gleich – oder zumindest gibt es keinen beobachtbaren Unterschied zwischen ihnen. Ein Ensemble von zufälligen reinen Zuständen mit gleichmäßiger Verteilung ist per Definition der maximal gemischte Zustand.
Eigentlich ist #2 auch das gleiche wie #1 und #3. Da es keinen Grund gibt, warum ein einzelnes MES bevorzugt werden sollte (und keine Möglichkeit zu wissen, welches erhalten wird, ohne die höchst nicht lokalen Wilson-Schleifen zu messen), sollte unser Wissensstand über das System durch eine inkohärente Mischung aus allen repräsentiert werden das MES. Und das ist wieder der maximal gemischte Zustand. Anders verhält es sich bei der spontanen Symmetriebrechung, da der Ordnungsparameter lokal messbar ist.
@DominicElse Dieser zweite Kommentar sollte wirklich eine Antwort sein.
@NorbertSchuch Ich habe daraus eine Antwort gemacht.

Antworten (1)

Lassen Sie mich versuchen, den Kommentar, den ich geschrieben habe, zu einer Antwort zu erweitern.

Zunächst werde ich einen philosophischen Punkt ansprechen. Betrachten Sie ein Spin-1/2-Teilchen. Wir können zwei verschiedene Basen betrachten | ↑ ⟩ , | ↓ ⟩ (Die S z Grundlage) bzw | + ⟩ , | − ⟩ (Die S X Basis). Es gibt keinen beobachtbaren Unterschied zwischen der Aussage, dass sich das System im Zustand befindet | ↑ ⟩ oder | ↓ ⟩ mit gleicher Wahrscheinlichkeit und die Aussage, dass sich das System im Zustand befindet | + ⟩ oder | − ⟩ mit gleicher Wahrscheinlichkeit, oder tatsächlich die Aussage die Aussage, dass das System irgendein zufälliger Zustand ist | ψ ⟩ ab dem einheitlichen Maß beprobt C 2 (diejenige, die unter jeder Einheit unveränderlich ist). Sie alle ergeben den maximal gemischten Zustand ρ = 1 2 ICH , aus der alle Messstatistiken berechnet werden können. Abhängig von der Interpretation von QM, die Sie abonnieren, kann es einen ontologischen Unterschied geben oder nicht. Aber diese Antwort wird nur beobachtbare Unterschiede berücksichtigen.

Um auf die spezifische Frage zurückzukommen, gibt es also keinen beobachtbaren Unterschied zwischen den Aussagen, dass sich das System mit gleicher Wahrscheinlichkeit (Nr. 2) in einem der 4 MES befindet, und der Aussage, dass es sich im gesamten 4-dimensionalen Grund in einem gleichmäßig zufälligen Zustand befindet Zustandsunterraum (#3). Beides entspricht der Aussage, dass sich das System in einem maximal gemischten Zustand befindet (#1).

Es bleibt jedoch die folgende Möglichkeit: Was ist, wenn nicht alle MES die gleiche Wahrscheinlichkeit haben? Hier ist es aufschlussreich, die Unterschiede zwischen topologischer Ordnung und spontaner Symmetriebrechung zu betrachten. In einem Ising-Modell zum Beispiel, das bei niedrigen Temperaturen spontan die Spin-Flip-Symmetrie bricht, gibt es einen zweifach entarteten Unterraum, der den beiden möglichen Spin-Ausrichtungen entspricht: Nennen Sie sie | ↑ ⟩ Und | ↓ ⟩ . Sie können sich ein Experiment vorstellen, bei dem Sie das System bei unendlicher Temperatur starten und es dann in einer Box abkühlen lassen, die Sie daran hindert, die Magnetisierung im Inneren leicht zu sehen (natürlich kann die Box nicht vollständig isoliert werden, da Wärme durchkommen muss). um das System zu kühlen). Dann hat der Experimentator keinerlei Information darüber, ob das System in a gelandet ist | ↑ ⟩ Staat oder a | ↓ ⟩ Zustand. Bevor der Experimentator die Schachtel öffnet, ist die einzige rationale Wahrscheinlichkeitsverteilung, die er zuweisen kann, zu sagen, dass sie die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, sodass der gemischte Zustand, den sie dem System zuweisen, der maximal gemischte Zustand über dem Grundzustands-Unterraum ist. Sobald sie jedoch die Schachtel öffnen, wird es für sie sehr einfach sein, die Magnetisierung zu beobachten, um herauszufinden, wie die Spins ausgerichtet waren; in der Tat könnte es für sie sehr schwer sein, diese Informationen nicht zu beachten, es sei denn, sie schließen ihre Augen. Dadurch "kollabiert" die Wahrscheinlichkeitsverteilung und sie werden beides sehen ↑ oder ↓ (Ob dies einem QM-Wellenfunktionskollaps oder nur einer klassischen Aktualisierung von Wahrscheinlichkeiten aufgrund neuer Informationen entspricht, hängt davon ab, auf welcher Basis Sie den maximal gemischten Zustand geschrieben haben, der wie oben erwähnt unbeobachtbare Daten sind).

Im Gegensatz dazu sind bei einem topologisch geordneten System die verschiedenen Grundzustände lokal nicht unterscheidbar. Ein bloßer Blick auf das System gibt dem Experimentator also keinerlei Auskunft darüber, in welchem ​​Grundzustand sich das System befindet, und er ist gezwungen, weiterhin den maximal gemischten Zustand zu verwenden, um seinen Wissensstand zu beschreiben. Wenn der Experimentator beispielsweise Zugang zu einem Quantencomputer hat, kann er natürlich einige (notwendigerweise höchst nicht lokale) Messungen durchführen, die ihm Informationen liefern. Dann hängt die Art des resultierenden Zustands offensichtlich davon ab, welche Observable sie messen möchten.

Zufällige Randbemerkung: Aus diesem Grund bin ich skeptisch gegenüber Interpretationen von QM, die behaupten, der QM-Wellenfunktion einen Begriff von "Realität" zuzuordnen. Gemischte Zustände scheinen viel physikalischer zu sein als reine Zustände, und gemischte Zustände sind eindeutig eine Verallgemeinerung klassischer Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die (egal ob Sie ein Bayesianer oder ein Frequentist sind) niemals als "echte" Freiheitsgrade angesehen werden.

Wie lässt man etwas völlig isoliert abkühlen? Sie brauchen einen Ort, an den die Energie gehen kann, was eine Interaktion mit der Umgebung erfordert.
@probably_someone Guter Punkt. Ich hätte sagen sollen, dass die Box keine Informationen über die Magnetisierung auf eine Weise durchlässt, die außerhalb der Box leicht zu beobachten ist. Offensichtlich benötigen Sie einen Wärmeaustausch. Ich werde meine Antwort aktualisieren.
Sind Sie sicher, dass ein thermischer Austausch ohne jeglichen Informationsaustausch überhaupt möglich ist? Die Äquivalenz zwischen thermodynamischer Entropie und Informationsentropie scheint etwas anderes nahezulegen.
@probably_someone Deshalb habe ich "leicht" gesagt - die Informationen werden immer durchsickern, aber sie könnten zu durcheinander sein, um sie in der Praxis zu beobachten.
Ich denke, der entscheidende Punkt, den ich nicht ganz verstanden habe, ist, dass es keine Möglichkeit gibt, den thermischen Erwartungswert für einen Bediener zu messen, wenn Sie nur eine Kopie eines Systems haben. Wenn es ein solches Messgerät gäbe, könnten wir damit experimentell zwischen einem Qubit unterscheiden, das „entweder in der | ↑ ⟩ oder der | ↓ ⟩ reiner Zustand, aber wir wissen nicht welcher" (was zurückkehren würde ⟨ S z ⟩ = ± 1 / 2 ) aus einem Qubit, das sich „im einzigartigen gemischten Zustand befindet 1 2 | ↑ ⟩ ⟨ ↑ | + 1 2 | ↓ ⟩ ⟨ ↓ | "
... (was zurückkehren würde ⟨ S z ⟩ = 0 ). Aber in Wirklichkeit würde kein experimentelles Gerät jemals die letztere Messung zurückgeben, wie ich in meiner Frage erwähnt habe. Bei klassischen Stat-Mechs ist das anders, denn Sie können im Prinzip ein einzelnes System effektiv in eine große Anzahl "klonen", indem Sie einfach immer wieder nicht störende Messungen durchführen. Aber im QM kann man keine störungsfreie Messung durchführen, da jede Messung zwangsläufig den Zustand des Systems verändert.
Wenn wir ein topologisch geordnetes System auf Nulltemperatur herunterkühlen, wird es dann in einem reinen oder gemischten Grundzustand landen?
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