Herleitung der Goldenen Fermi-Regel der Quasielektronenlebensdauer

Die folgende Argumentation folgt im Grunde diesem Beweis.

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Die goldene Regel ist eine einfache Konsequenz der Schrödinger-Gleichung, die in der Störung auf niedrigste Ordnung gelöst wird$H'$des Hamiltonian,

$$\left(H_{0}+H'-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial }{\partial t}\right)\sum _{n}a_{n}(t)|n\rangle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} tE_{n}/\hbar }=0,$$

Wo$E_n$Und$|n⟩$sind die stationären Eigenwerte und Eigenfunktionen von$H_0$.

Schreiben Sie diese Gleichung um als die der zeitlichen Entwicklung der Koeffizienten a$a_{n}(t)$,

$$\mathrm{i} \hbar {\frac {\mathrm {d} a_{k}(t)}{\mathrm {d} t}}=\sum _{n}\langle k|H'|n\rangle a_{n}(t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t(E_{k}-E_{n})/\hbar }.$$

Diese Gleichung ist exakt, aber normalerweise in der Praxis nicht lösbar.

Für eine schwache konstante Störung$H'$die einschaltet bei$t=0$, können wir die Störungstheorie anwenden. Nämlich wenn$H ′ = 0$es ist offensichtlich, dass a$a_{n}(t)=\delta_{n,i}$, was einfach besagt, dass das System im Ausgangszustand bleibt$i$.

Für Staaten$k\neq i$,$a_{k}(t)$wird aufgrund von ungleich Null$H'\neq 0$und diese werden aufgrund der schwachen Störung als klein angenommen. Daher kann man die Form nullter Ordnung a einsetzen$a_{n}(t)=\delta_{n,i}$in die obige Gleichung, um die erste Korrektur für die Amplituden zu erhalten$a_{k}(t)$,

$$\mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} a_{k}(t)}{\mathrm {d} t}}=\langle k|H'|i\rangle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} t(E_{k}-E_{i})/\hbar },$$

die sich integriert

$$\mathrm {i} \hbar a_{k}(t)=2\langle k|H'|i\rangle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega t/2}{\frac {\sin \omega t/2}{\omega }}$$

für$\omega \equiv (E_{k}-E_{i})/\hbar$, für einen Zustand mit$a_i(0) =1, a_k(0)=0$, Übergang in einen Zustand mit$a_k(t)$(nochmal,$k\neq i$).

Die Übergangsrate ist dann

$$\Gamma_{i\rightarrow k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left|a_{k}(t)\right|^{2}={\frac {2|\langle k|H'|i\rangle |^{2}}{\hbar ^{2}}}{\frac {\sin \omega t}{\omega }},$$

A$sinc$Funktion, die für kleine stark ansteigt$\omega$. Bei$\omega =0$,$\sin(\omega t)/\omega =t$, also ändert sich die Übergangsrate linear mit$t$für einen isolierten Staat$|k\rangle$!

Im dramatischen Gegensatz dazu für Energiezustände$E$Eingebettet in ein Kontinuum müssen sie alle gemeinsam berücksichtigt werden. Für eine Zustandsdichte pro Energieintervalleinheit$\rho(E)$, sie müssen über ihre Energien integriert werden, und daher die entsprechenden$\omega$S,

$$\Gamma_{i\rightarrow f}={\frac {2}{\hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega \rho (\omega )|\langle f|H'|i\rangle |^{2}\,{\frac {\sin \omega t}{\omega }}.$$

Für groß$t$, Die$sinc$Die Funktion ist stark ausgereizt$\omega\approx 0$, und vernachlässigbar außerhalb$[-2\pi/t,2\pi/t]$; Dichte und Übergangselement können aus dem Integral herausgenommen werden, so dass die Rate

$$\Gamma_{i\rightarrow f}={\frac {2\rho |\langle f|H'|i\rangle |^{2}}{\hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega {\frac {\sin \omega t}{\omega }}$$ ist jetzt nur noch proportional zu einem konstanten Dirichlet-Integral,$\pi$.

Die Zeitabhängigkeit ist verschwunden, und es folgt die konstante Abklingrate der goldenen Regel.

Als Konstante unterliegt sie den Gesetzen des exponentiellen Teilchenzerfalls der Radioaktivität. (Für übermäßig lange Zeiten jedoch war das säkulare Wachstum der$a_k(t)$s macht die Störungstheorie niedrigster Ordnung ungültig, die erfordert$a_k<< a_i$.)

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Wenn es hilft, schauen Sie sich diesen Artikel an http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/9783527665709.app6/pdf