In der Physik sagt man, dass eine Größe erhalten bleibt, wenn ihr Operator mit Hamiltonoperator kommutiert.
Zum Beispiel in kondensierten Materiesystemen, wenn der Impuls pendelt mit dem Hamiltonian als , sagen wir, dass es sich um eine Erhaltungsgröße handelt.
Nun nehmen wir den Zeitumkehr-Symmetrieoperator . Wenn es mit unserem Hamiltonian as pendelt , sagen wir, dass die Zeitumkehrsymmetrie für unser System erhalten bleibt.
Wenn wir jedoch die Teilchenlochsymmetrie nehmen und chiraler Symmetrieoperator , wo sie mit dem Hamiltonian anti-pendeln , sagen wir, dass Teilchen-Loch- und chirale Symmetrien erhalten bleiben.
Was ich wirklich nicht verstehe, ist, warum wir die Anti-Kommutationsbeziehung und nicht die Kommutierungsbeziehung verwenden, um herauszufinden, ob Teilchenloch- und chirale Symmetrien erhalten bleiben oder nicht.
Erstens sagen wir nicht, dass die "Zeitumkehrsymmetrie erhalten bleibt". Das Momentum wird konserviert, weil es der Generator einer kontinuierlichen Transformation ist, der Translationen. Diskrete Symmetrien wie die Zeitumkehr, die keine kontinuierliche Transformation erzeugen, induzieren keine "Erhaltungssätze" im üblichen Sinne des Wortes. Zum einen gibt es für sie keinen Noetherstrom, vgl. diese Frage und ihre Antworten .
Eine chirale "Symmetrie", dh eine, die mit dem Hamilton-Operator antikommutiert, ist keine Symmetrie im strengen Sinne von, nun ja, mit dem Hamilton-Operator kommutieren. Solche chiralen "Symmetrien" sind nicht mit Erhaltungsgrößen verbunden (weil sie wiederum nicht mit dem Hamilton-Operator pendeln, was konserviert bedeutet ).
Trotzdem ist eine chirale "Symmetrie" nützlich, weil sie Dinge über das Spektrum des Hamilton-Operators impliziert. Zum Beispiel von , können Sie direkt zeigen, dass Nicht-Null-Eigenwerte des Hamiltonoperators paarweise auftreten: If ist ein Eigenzustand zum Eigenwert , Dann ist ein Eigenzustand für .
Sowohl der Teilchen-Loch-Operator als auch der chirale Operator kommutieren mit dem vollständig zweitquantisierten Hamilton-Operator. Nur für den Ein-Teilchen-Hamiltonoperator erweisen sie sich als Anti-Pendeln.
Um diese Behauptung zu bestätigen, schauen Sie bitte nach.
Dies sind die besten zwei Referenzen, die diesen Punkt tatsächlich berühren. Es scheint an den meisten anderen Orten (vielleicht absichtlich) übersehen oder ignoriert zu werden.