Spektrale Eigenschaften in der Festkörperphysik

Nehmen wir also an, wir haben einen periodischen 1d-Schrödinger-Operator

− F ″ + v ( X ) F ( X ) = λ F ( X )
und wir wollen v periodisch sein.

Nehmen wir nun an, dass wir uns auf einem endlichen Intervall befinden und dass wir periodische Randbedingungen haben wo R die Periode des Potentials bezeichnet, dann haben wir Eigenwerte E 0 < E 1 ≤ E 2 < E 3 ≤ E 4 . . . usw.

Okay, das ist mir klar. Dann gibt es den Fall, dass ein solcher Operator auf dem vollen Intervall definiert ist. Erste Frage: Brauchen wir dann irgendwelche Randbedingungen? In meiner Physikvorlesung haben wir sogenannte Born-von-Karmann-Randbedingungen verwendet (also das F ( X + R ) = F ( X ) ), um den Satz von Floquet oder Bloch zu "beweisen", der besagt, dass wir zerlegen können F ( X ) = e ich k X u k ( X ) . Dieser Satz besagt, dass wir die Wellenfunktion in einen periodischen Teil zerlegen können u k ( X + R ) = u k und eine komplexe Exponentialfunktion e ich k X .

Ich habe irgendwie das Gefühl, dass diese Born-von-Karmann-Randbedingungen in dem Sinne nicht notwendig sind, dass jede Eigenfunktion zu diesem Schrödinger-Operator automatisch periodisch mit der Periode des Potentials ist, stimmt das? - In diesem Fall: Warum wollen wir Born-von-Karmann-Randbedingungen? ?- Mein Problem mit den Born-von-Karmann-Bedingungen ist, dass ich finde, dass sie keine wirklichen Randbedingungen sind, da sie nicht auf eine Grenze wirken. Was ist also mit der Domain eines solchen Operators?

2.) In meiner Physikvorlesung haben wir gemerkt, dass aufgrund dieser Born-von-Karmann-Bedingungen das möglich ist k ' s für das Problem (die in den Exponentialen erscheinen) sind diskret. Nicht sicher, ob dies automatisch erfüllt ist, auch wenn wir keine Born-von-Karmann-Randbedingungen annehmen? Dann haben wir das für jeden gesagt k , die Schrödinger-Operatorgleichung, die man durch Einstecken in den Ansatz aus dem Bloch- oder Floquet-Thörem erhält, hat ein diskretes Spektrum. Ist das wahr? Wenn ja, was hat das alles mit Bands zu tun, wenn alles so schön diskret ist? - Oder nennen wir diese Dinger einfach Bands, da die k so nah kommen, dass wir die diskrete Struktur nicht wirklich auflösen können?

3.) Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Finite-Intervall-Problem und dem Unendlich-Intervall-Problem oder sind das zwei völlig verschiedene Dinge?

Die Verwendung der Schrödinger-Gleichung in der Festkörperphysik ist ein Ad-hoc-Modellierungsansatz, der die technische Schwierigkeit "korrekter" effektiver Feldtheorien für dieselben Systeme umgeht. Die in diesen Modellen verwendeten effektiven Potentiale sind Spielzeugpotentiale. Glücklicherweise stimmen viele dieser vereinfachten Systeme recht gut mit der beobachteten Phänomenologie überein. Die zusätzlichen Effekte, die sich aus der Diskretisierung der Spektren aufgrund endlicher (oder periodischer) Randbedingungen ergeben, können als zusätzlicher numerischer Trick angesehen werden, um die mathematische Komplexität kontinuierlicher Spektren linearer Operatoren zu vermeiden.

Antworten (3)

Jede Eigenfunktion zu diesem Schrödinger-Operator ist automatisch periodisch mit der Periode des Potentials, ist das wahr?

NEIN!! Die Eigenfunktionen sind Blochwellen ψ ( X ) = u ( X ) e ich k X , Wo u periodisch ist (mit der Periode des Gitters). Aber das Produkt ψ ist nicht periodisch (mit der Periode des Gitters), es sei denn k = 0 . Ich habe kürzlich ein Beispiel auf Wikipedia veröffentlicht:

Bloch-Wellendiagramm

Eine Bloch-Welle (unten) kann in das Produkt einer periodischen Funktion (oben) und einer ebenen Welle (Mitte) zerlegt werden. Die linke Seite und die rechte Seite stellen dieselbe Bloch-Welle dar, die auf zwei verschiedene Arten gebrochen ist, wobei der Wellenvektor k1 (links) oder k2 (rechts) beteiligt ist. Die Differenz (k1−k2) ist ein reziproker Gittervektor. In allen Diagrammen ist Blau der Realteil und Rot der Imaginärteil.

Ich habe diese Handlung hauptsächlich gemacht, um zu zeigen, warum k ist mehrdeutig, was für Ihre Frage nicht relevant ist. Aber wenn Sie sich nur die untere Reihe ansehen, werden Sie sehen, dass Bloch-Wellen nicht periodisch mit der Periode des Potentials sind.

Hier ist ein dummes Beispiel. Im Vakuum, v ( X ) = 0 , die (trivialerweise) periodisch mit einer Periode von 1 Nanometer ist (ich hätte hier jeden anderen Abstand angeben können). Aber seine Energieeigenzustände sind ebene Wellen, die im Allgemeinen nicht periodisch mit einer Periode von 1 Nanometer sind.

Nennen wir diese Dinge einfach Bänder, da die k's so nah beieinander liegen, dass wir die diskrete Struktur nicht wirklich auflösen können?

Ja in der Tat! Ein makroskopischer Kristall könnte haben 10 20 zulässige Werte von k , gleichmäßig verteilt in der ersten Brillouin-Zone. Wir können und sollten es uns also als eine glatte Kurve oder Oberfläche vorstellen, anstatt als diskrete Punkte.

... Gibt es eine Beziehung zwischen dem Problem der endlichen Intervalle und dem Problem der unendlichen Intervalle oder sind das zwei völlig verschiedene Dinge?

Für ein unendliches Intervall gibt es ∞ zulässige Werte von k , statt nur 10 20 . So werden die Bänder zu buchstäblich glatten Kurven oder Oberflächen statt zu effektiv glatten Kurven oder Oberflächen. Abgesehen davon ist alles gleich.

...wenn wir nicht von den Born-von-Karmann-Randbedingungen ausgehen...

... dann können die Eigenzustände normalerweise nicht so geschrieben werden u ( X ) e ich k X . In 1D erhalten Sie mit den realistischsten (nicht periodischen) Randbedingungen eine Überlagerung des Zustands + k und der Staat mit − k , um statt einer Wanderwelle eine stehende Welle zu bilden: ψ ( X ) = A u 1 ( X ) e ich k X + B u 2 ( X ) e − ich k X Wo A Und B sind komplexe Zahlen und es stellt sich heraus, dass u 1 = u 2 ∗ . Nochmal das ψ hat kein k so wie du es gewohnt bist.

Ändert sich dadurch die Bandstruktur? Was bedeutet „Bandstruktur“ überhaupt, wenn wir nicht von Bloch-Zuständen sprechen? Ich glaube, die Antwort ist: Der Begriff "Bandstruktur" ist die Abkürzung für "Bandstruktur unter der Annahme von Born-von-Karmann-Randbedingungen", und wenn Ihre Randbedingungen anders sind, müssen Sie bedenken, dass die Bandstruktur für Sie nicht direkt ist ein Katalog von erlaubten Zuständen und Energien, es ist ein Schritt davon entfernt. (Aber es ist nur ein kleiner und unkomplizierter Schritt entfernt.) :-D

danke, Sie haben einige Aspekte angesprochen, aber nicht alle, deshalb möchte ich nur die verbleibenden Fragen stellen: Ich habe das bemerkt, wenn wir haben ψ ( X ) = e ich k X u ( X ) , dann ist diese Funktion nicht quadratintegrierbar (folgt unmittelbar aus der Periodizität). Ist das nicht ein Problem, wenn wir über eigentliche Eigenfunktionen sprechen wollen (eng verwandt mit der Frage nach den Definitionsbereichen des Hamiltonoperators). Sie haben auch angegeben, dass der einzige Unterschied zwischen den Problemen mit endlichen und vollen Intervallen in der Anzahl der zulässigen liegt k -Werte. Wenn wir annehmen, dass das Potential Null ist, haben wir dann nicht ein kontinuierliches Spektrum?
Ich meine, wie gibt es einen diskreten Satz von Eigenfunktionen für − F ″ = λ F auf der ganzen Realleitung vorhanden?
@XinWang Auf der gesamten realen Linie haben Sie kontinuierliche Bänder zulässiger Energien, sodass die Eigenfunktionen tatsächlich nicht quadratintegrierbar sind. Ein Sonderfall davon ist nur ein freies Teilchen (dh das mit konstantem Potential).
@SteveB Tatsächlich verwenden wir keine Born-von-Karman-Bedingungen für die gesamte reelle Linie - unsere Randbedingungen sind unendlich begrenzt.
@Ruslan, du scheinst auch ein ziemlicher Experte auf diesem Gebiet zu sein. Würde es dir etwas ausmachen, ein wenig ausführlicher über dieses Problem zu sprechen? (Antwort selbst posten)

Dann gibt es den Fall, dass ein solcher Operator auf dem vollen Intervall definiert ist

Ich gehe davon aus, dass Sie mit "vollem Intervall" die gesamte reale Zeile meinen.

Erste Frage: Brauchen wir dann irgendwelche Randbedingungen?

Ja, wie von Sam Bader angemerkt, sind Randbedingungen Teil des Hamilton-Operators.

In meiner Physikvorlesung haben wir sogenannte Born-von-Karmann-Randbedingungen verwendet ... um das Floquet- oder Bloch-Theorem zu "beweisen".

Tatsächlich erfordert der Satz von Bloch Translationssymmetrie. Wenn Sie Ihr Gebiet auf ein endliches Intervall beschränken, wird eine solche Symmetrie nur mit periodischen Randbedingungen erreicht.

Wenn Ihr Bereich jedoch die gesamte reelle Linie ist, müssen keine speziellen Randbedingungen auferlegt werden, um eine Translationssymmetrie zu erreichen: Es reicht nur die übliche Bedingung der Beschränktheit der Lösung. Siehe z. B. einen Spezialfall – Hamiltonoperator für freie Teilchen: Er erfordert, dass die Lösung auf unendlich begrenzt ist, und das reicht aus, um die Lösung als ebene Wellen zu erhalten. Und es hat Translationssymmetrie, hat also einen konservierten Quasiimpuls (der in diesem Fall mit dem Impuls zusammenfällt, weil die Periode dieser Symmetrie beliebig klein ist).

Ich habe irgendwie das Gefühl, dass diese Born-von-Karmann-Randbedingungen in dem Sinne nicht notwendig sind, dass jede Eigenfunktion dieses Schrödinger-Operators automatisch periodisch mit der Periode des Potentials ist, stimmt das?

Das ist falsch und wird richtig erklärt von Steve B.

Mein Problem mit den Born-von-Karmann-Bedingungen ist, dass ich finde, dass sie keine wirklichen Randbedingungen sind, da sie nicht auf eine Grenze wirken. Was ist also mit der Domain eines solchen Operators?

Sie wirken an den Grenzen der Domäne: wenn Ihre endliche Domäne ist [ A , B ] , dann hast du

F ( A ) = F ( B ) , F ' ( A ) = F ' ( B ) .

Genau darum geht es bei den Born-von-Karmann-Bedingungen. Wenn Sie versuchen, diese Bedingungen in einer Matrixdarstellung Ihres kinetischen Energieoperators umzusetzen, erhalten Sie eine Zirkulantenmatrix , die die Translationssymmetrie explizit zeigt. (Versuchen Sie, mit der Finite-Differenzen -Annäherung des kinetischen Energieoperators zu spielen, Sie werden dies direkt sehen).

In meiner Physikvorlesung haben wir festgestellt, dass aufgrund dieser Born-von-Karmann-Bedingungen die möglichen k′s für das Problem (die in den Exponentialen auftreten) diskret sind. Nicht sicher, ob dies automatisch erfüllt ist, auch wenn wir keine Born-von-Karmann-Randbedingungen annehmen?

Selbst wenn Sie keine Born-von-Karmann-Randbedingungen verwenden und stattdessen beispielsweise homogene Dirichlet- oder Neumann-Randbedingungen verwenden, erhalten Sie am Ende ein diskretes Spektrum. Das ist das Ergebnis der Endlichkeit des Bereichs und ein allgemeines Merkmal des Sturm-Liouville-Problems .

Dann haben wir gesagt, dass die Schrödinger-Operatorgleichung, die man durch Einsetzen in den Ansatz aus dem Bloch- oder Floquet-Thörem erhält, für jedes k ein diskretes Spektrum hat. Ist das wahr?

Auch hier gilt, solange Sie eine endliche Domäne haben. Und der Satz von Bloch macht nur bei Vorhandensein von Translationssymmetrie, dh in diesem Fall mit Born-von-Karmann-Randbedingungen, einen direkten Sinn.

Wenn ja, was hat das alles mit Bands zu tun, wenn alles so schön diskret ist? - Oder nennen wir diese Dinge einfach Bänder, da die k's so nah beieinander liegen, dass wir die diskrete Struktur nicht wirklich auflösen können?

Die kontinuierlichen Bänder erscheinen, wenn wir die Grenze der Kristallgröße nehmen L → ∞ (dh die Anzahl der Gitterzellen ins Unendliche bringen). In dieser Grenze verwandeln sich die Born-von-Karmann-Bedingungen automatisch in die Bedingungen der Beschränktheit der Lösung im Unendlichen, und wenn Sie die Anzahl der Gitterzellen erhöhen, wird das Spektrum immer dichter (dh die diskreten Niveaus entsprechen einigen k kommen einander immer näher, während ihre Zahl zunimmt), und in der Grenze von L → ∞ es wird kontinuierlich.

Beachten Sie, dass Sie auf unendlichem Gebiet keine Born-von-Karmann-Bedingungen anwenden können – es macht keinen Sinn zu sagen F ( − ∞ ) = F ( + ∞ ) , also verwenden Sie die natürlichen Bedingungen der Begrenztheit.

Dies ist eine Annäherung an den realen Kristall, in dem es in allen (oder einigen, zB Graphen) Richtungen eine riesige Anzahl von Atomen gibt, so dass wir wirklich nur annehmen können, dass er in erster Näherung unendlich ist.

In echten Kristallen sind die Spektrallinien so dicht, dass sie tatsächlich nicht aufgelöst werden können – aber das liegt nicht nur an den Instrumenten, sondern an der natürlichen Aufweitung der Spektrallinien: der Unsicherheit der Niveauenergie durch endliche Lebensdauer durch Spontaneität Emission.

Gibt es eine Beziehung zwischen dem Problem der endlichen Intervalle und dem Problem der unendlichen Intervalle oder sind das zwei völlig verschiedene Dinge?

Ja, die Beziehung ist wie oben erwähnt: über eine Grenze. Es gibt jedoch einige subtile Unterschiede, wie die Tatsache, dass Eigenfunktionen im unendlichen Bereich nicht normalisierbar werden und das Spektrum kontinuierlich wird, aber physikalisch ist es immer noch ziemlich ähnlich. Auch hier können Sie mit der Näherung des leeren Gitters (dh Hamiltonoperator mit konstantem Potential) spielen, um die Eigenschaften dieser Probleme besser zu verstehen.

Ich mag den mathematischen Ansatz, den Sie hier verfolgen: Es gibt nur ein paar Dinge, die ich Sie jetzt fragen möchte, um sicherzugehen, dass ich das verstanden habe: 1.) Im Prinzip könnten wir zeigen, dass der Satz von Bloch sogar gilt, wenn wir as annehmen die Domäne die ganze reale Linie und verlangen nur, dass unsere Lösungen überall begrenzt sind? 2.) Warum suchen wir nicht richtig L 2 Eigenfunktionen stattdessen, wenn wir die vollständige reelle Linie betrachten, da beschränkte Funktionen kein Element eines echten Hilbert-Raums sein müssen? 3.) Wissen Sie, wie diese periodischen Potentiale in der Praxis aussehen?
4.) Angenommen, Sie haben das Finite-Intervall-Problem mit periodischen Randbedingungen gelöst (also H ψ = E ψ auf irgendeiner Finie-Domäne [ 0 , L ] mit periodischen Randbedingungen). Wie konstruieren Sie daraus die Lösung für mehrere Zellen? 5.) Wenn wir also auf den vollen reellen Linien sind, bekommen wir Kontinuität nur in der k − Werte oder ist auch das Energiespektrum für jedes Individuum k selbst kontinuierlich? (Ich denke, im Fall des endlichen Intervalls sind beide diskret)
1) Richtig 2) Weil wir nur physikalisch präparierbare Zustände im Hilbert-Raum benötigen. Eigenzustände des kontinuierlichen Spektrums werden normalerweise unter Verwendung des manipulierten Hilbert-Raum-Formalismus behandelt . Ohne diese Zustände würden Sie feststellen, dass es bei diesen Problemen überhaupt keine Eigenzustände gibt, und selbst wenn dies der Fall wäre, könnten Sie die meisten Wellenfunktionen in dieser Basis nicht erweitern, sodass es ohne kontinuierliche Spektralzustände nicht vollständig ist. 3) Nehmen A cos ⁡ ( X ) Zum Beispiel. Damit ist die Schrödinger-Gleichung in Bezug auf Mathieu-Funktionen lösbar.
Siehe auch Kronig-Penney-Modell zur Einführung in einfache Modelle der Festkörperphysik. 4) Ihre anfängliche Domain kann bereits mehrere Zellen haben (z. B. N ). Sie wenden einfach das Bloch-Theorem an und reduzieren das Problem auf den Längenbereich L / N . Danach können Sie das Problem für alle betrachten N gelöst — verwenden Sie einfach die entsprechenden Werte von k . 5) Das Energiespektrum ist immer in der Form E N ( k ) Wo k Quasiwellenvektor ist, und N ist die Bandnummer. Wenn k variiert dann natürlich ständig E ist auch durchgehend. Aber
für gegeben k , E als Funktion von N ist diskret – die Bänder sind immer noch diskrete Einheiten. Dies liegt an der endlichen Länge der Gitterzelle. Sie können dies sehen, wenn Sie den Satz von Bloch anwenden und das Problem für den Fall von lösen k = 0 . Es wäre das gleiche wie das ursprüngliche Problem, aber auf eine Gitterzelle beschränkt.

Es ist gut, dass Sie sich Fragen wie diese stellen; Ich finde, dass diese Art von Fragen einen Schüler wirklich zu einem tieferen Verständnis der beteiligten Mathematik zwingt.

Brauchen wir dann irgendwelche Randbedingungen?

Ja, Randbedingungen sollten als Teil der Definition des Hamiltonoperators und seines Definitionsbereichs berücksichtigt werden. Unterschiedliche Randbedingungen können zu unterschiedlichen Eigenfunktionen/Eigenwerten führen.

Ich habe irgendwie das Gefühl, dass diese Born-von-Karmann-Randbedingungen in dem Sinne nicht notwendig sind, dass jede Eigenfunktion dieses Schrödinger-Operators automatisch periodisch mit der Periode des Potentials ist, stimmt das?

Nein, selbst unter BvK-Bedingungen ist dies nicht der Fall (Beispiele finden Sie in der Antwort von Steve B). Richtig ist, dass (mit BvK) die Wellenfunktion bis auf an periodisch ist e ich k X Phase. Ohne BvK ist keine dieser Aussagen notwendigerweise wahr.

In diesem Fall: Warum wollen wir Born-von-Karmann-Randbedingungen? - Mein Problem mit den Born-von-Karmann-Bedingungen ist, dass ich finde, dass sie keine wirklichen Randbedingungen sind, da sie nicht auf eine Grenze wirken.

Ein paar Dinge:

  1. Die Hoffnung in der Festkörperphysik ist, dass, wenn Sie eine ausreichend große Region haben und Volumeneigenschaften berechnen, die Kanten im Vergleich zum Volumen einen winzigen Teil Ihres Systems bilden, und daher sollten die Ergebnisse nicht sehr davon abhängen Randbedingungen, die Sie wählen.

  2. BvK sind Randbedingungen: Sie sagen, dass die Wellenfunktion am linken Rand des Raumes gleich der Wellenfunktion am rechten Rand des Raumes ist.

  3. BvK sind nützlich, weil sie die diskrete Translationssymmetrie des Potentials [übersetzen durch A und nichts passiert]. Dies ist die Symmetrie, die die Bloch-Wellen darstellen, und wenn Sie Randbedingungen wählen, die diese Symmetrie nicht bewahren, dann werden Sie keine Lösungen haben, die diese Symmetrie widerspiegeln.

    • Wenn Sie einen anderen Satz von Randbedingungen nehmen würden, z. B. geht die Wellenfunktion bei beiden Unendlichkeiten gegen Null, dann wären Ihre Eigenfunktionen (falls vorhanden) keine Bloch-Wellen. Sie könnten vielleicht über einer begrenzten Region wie Bloch-Wellen aussehen, müssten aber irgendwann abfallen. Per Definition haben Blochwellen in jeder Elementarzelle die gleiche Norm.
    • BvK stellt Ihnen bequem normierbare Eigenfunktionen zur Verfügung, da Ihr Raum endlich ist. Sie müssen sich keine Sorgen machen, dass Sie die ungebundenen Zustände bis ins Unendliche integrieren und die Norm explodieren lassen.

In meiner Physikvorlesung haben wir festgestellt, dass aufgrund dieser Born-von-Karmann-Bedingungen die möglichen k′s für das Problem (die in den Exponentialen auftreten) diskret sind. Nicht sicher, ob dies automatisch erfüllt ist, auch wenn wir keine Born-von-Karmann-Randbedingungen annehmen? Das ist zwar nichts Besonderes am BvK. Wenn Sie das Problem so gestalten, dass das periodische Gitter tatsächlich groß, aber endlich ist, und die Randbedingungen so nehmen, dass sie im Unendlichen auf Null gehen, dann würden Sie ein diskretes Spektrum von gebundenen Zuständen im Gitterbereich finden, die tief im Gitter so etwas wie Bloch-Zustände aussehen fallen dann aber an den Rändern ab. (Ich gehe davon aus, dass das Gitterpotential stark genug ist, um gebundene Zustände zu haben). Dies ist natürlich ein realistischerer Fall als BvK, da es sich um Materialien handeltendlich in der realen Welt ... aber Sie tun es nicht, weil das Auflösen nach Eigenfunktionen gerade ziemlich lächerlich geworden ist.

Dann haben wir gesagt, dass die Schrödinger-Operatorgleichung, die man durch Einsetzen in den Ansatz aus dem Bloch- oder Floquet-Thörem erhält, für jedes k ein diskretes Spektrum hat. Ist das wahr? Wenn ja, was hat das alles mit Bands zu tun, wenn alles so schön diskret ist? - Oder nennen wir diese Dinge einfach Bänder, da die k's so nah beieinander liegen, dass wir die diskrete Struktur nicht wirklich auflösen können?

Exakt. Wenn wir gut getrennte nicht entartete Bänder haben, dann ist das niedrigste "Band" die Menge von {für jedes k den niedrigsten Eigenwert nehmen}. Das zweitniedrigste Band ist dann {für jedes k den zweitniedrigsten Eigenwert nehmen}. Usw. Da die zulässigen k's so nahe beieinander liegen, dass sie im Grunde unauflösbar sind, sieht jedes Band wie ein Kontinuum von Zuständen aus.

Ich habe eigentlich noch andere Fragen: Eigentlich die v = 0 case ist ein gutes Beispiel, das uns einige Probleme zeigt. In diesem Fall ist der Satz von k ' S sollte nicht diskret sein, oder? Also müssen wir den Zeitraum ausschließen 0 oder kann dies auch für endliche Perioden ungleich Null passieren? Sie sagen auch "BvK liefert Ihnen bequem normalisierbare Eigenfunktionen, da Ihr Raum endlich ist". Sind Sie sicher, dass wir nur BvK-Randbedingungen anwenden, wenn wir FINITE-Intervalle berücksichtigen?
Zu deiner ersten Frage. Angenommen, Sie wenden BvK auf eine Länge an L der echten Linie. Selbst wenn v = 0 , BvK gibt Ihnen immer noch diskrete k's: k N = 2 π N / L . Ihre Lösungen sind nur ebene Wellen e ich k X / ( L ) .
Und ich bin mir nicht sicher, was Ihre zweite Frage ist. Die Verwendung von BvK bedeutet, dass Sie das Problem im Grunde in einem Bereich endlicher Größe lösen (dh Sie können explizit sagen, dass es sich um eine Länge handelt L ), die Ende-zu-Ende mit sich selbst "verbunden" ist. Da der Bereich, über den Sie integrieren, endlich ist, hat eine gut erzogene Wellenfunktion eine endliche Norm. (Im Gegensatz zu diesen periodischen ebenen Wellenlösungen in einem unendlichen freien Raum, auf die normiert wird δ ( 0 ) .)
Naja, eigentlich wusste ich bisher nicht, dass BvK nur für endliche Größe ist. Aber das ist eigentlich ein Problem, denn wenn Sie wirklich den unendlich erweiterten Fall behandeln wollen, dann kann der Bloch-Zerlegungssatz nicht gelten, da Ihre Lösung es nicht ist L 2 wenn es periodisch und unendlich ausgedehnt ist, ist das wahr?
Nun, ich weiß nicht, ob BvK nur für endliche Größe ist, vielleicht können Sie etwas Ähnliches für ein unendliches Liniensegment tun; ehrlich gesagt, ich weiß nicht, was das bedeuten würde. In der Praxis behandeln Sie im Allgemeinen nur den unendlich erweiterten Fall wie oben, nehmen aber L → ∞ , also kommen Ihre zulässigen k-Werte sehr nahe. dh es ist nur eine Grenze des endlichen Falls.
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