Grundfrage - Greensche Funktionen in der Quantenmechanik

Question

Grundfrage - Greensche Funktionen in der Quantenmechanik

Josch

Ich versuche, im Rahmen meines Studiums etwas über die Funktionen von Green zu erfahren, und habe eine ziemlich grundlegende Frage dazu:

In meinen Mathematiklehrbüchern und an vielen Stellen im Internet wird die grundlegende Greens-Funktion G für einen linearen Differentialoperator L als angegeben

L G = δ (X - X^{'})

$L G = \delta (x-x')$

das ist alles schön und gut. Ich lese gerade Economous Text über GF in der Quantenphysik, in dem er Greens Funktionen als Lösungen inhomogener DE des Typs definiert:

[z - L (R)] G (R, R^{'}; z) = δ (R - R^{'})

$[z - L(r)]G(r,r';z) = \delta (r-r')$

Wo $z = \lambda + is$ und L ein zeitunabhängiger, linearer, hermitischer Differentialoperator ist, der Eigenfunktionen hat $\phi_n (r)$

L (R) ϕ_{N} (R) = λ_{N} ϕ_{N} (R)

$L(r) \phi_n (r) = \lambda_n \phi_n (r)$

Wobei diese $\lambda_n$ sind die Eigenwerte von L. Woher kommt dieses z in der zweiten Gleichung und was ist die Verbindung zwischen diesem und dem ersten?

Bearbeiten: Siehe meinen Beitrag unten für ein paar neue Fragen.

Slawen

Neben dem Econoumou-Text empfehle ich die Bücher von Supriyo Datta, insbesondere das ältere "Electronic Transport in Mesoscopic Systems".

Antworten (2)

Grundfrage - Greensche Funktionen in der Quantenmechanik

Neben dem Econoumou-Text empfehle ich die Bücher von Supriyo Datta, insbesondere das ältere "Electronic Transport in Mesoscopic Systems".

Slawen · Answer 1

$z$ ist die Frequenz aus der Fourier-Transformation der Zeitachse, sie erscheint, wenn Sie die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung lösen:

(ich \frac{\partial}{\partial T} - L (X)) G (X, T; X^{'} T^{'}) = δ (X - X^{'}) δ (T - T^{'})

$\left (i \frac{\partial}{\partial t} - L(x) \right ) G(x,t; x't')= \delta (x-x') \delta(t-t')$

Für zeitunabhängig $L$ , $G$ ist eine Differenzfunktion $t-t'$ nur, also schreibst du:

G (X; X^{'}; z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{ich z (T - T^{'})} G (X, T; X^{'} T^{'}) D T

$G(x;x'; z) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i z (t-t')} G(x,t; x't') d t$ .

Für die verzögerte Grün-Funktion gilt: $G^{R}(x,t; x,t')=0$ Wenn $t<t'$ und das Integral konvergiert, wenn $\rm{Im} \, z >0$ . Für die erweiterte Grün-Funktion $G^{A}(x,t; x,t')=0$ Wenn $t>t'$ und das Integral konvergiert für $\rm{Im} \, z =s <0$ . Also der Auflöser $G(x;x';z)$ codiert bequem beide :

G^{R / A} (X, T; X^{'}, T^{'}) = lim_{S \to \pm 0} \frac{1}{2 π} \int e^{- ich z (T - T^{'})} G (X; X^{'}; z) D z

$G^{R/A}(x,t; x',t') = \lim_{s \to \pm 0} \frac{1}{2\pi} \int e^{-i z(t-t')} G(x;x';z) d z$ mit

+

$+$ Zeichen für die Behinderten, und

-

$-$ Zeichen für die erweiterte grüne Funktion. Für endliche Systeme

G (z)

$G(z)$ ist auf der ganzen Ebene analytisch mit Ausnahme des diskreten Satzes von Singularitäten auf der reellen Achse. Für ein unendliches System gibt es einen Schnitt auf der reellen Achse, der dem kontinuierlichen Teil des Spektrums entspricht.

Das Einsetzen der inversen Transformation in die Gleichung ergibt:

(z - L (X)) G (X; X^{'}; z) = δ (X - X^{'})

$\left ( z - L(x) \right ) G(x;x';z) = \delta (x-x')$

wie im Economou-Text.

Okay, das scheint den Vorlesungsfolien und dem Buch etwas näher zu sein. Schließen wir in Ihrer ersten Gleichung den Teil der Zeitableitung nicht als Teil des L-Operators ein, weil wir die räumlichen und zeitlichen Teile getrennt halten möchten? Im Grunde muss ich verstehen, dass der einzige Grund, warum z in der Nähe ist, darin besteht, die Zeitabhängigkeit zu berücksichtigen? Zum Beispiel müssen wir in der Poisson-Gleichung nur lösen $LG = \delta (x-x')$ , es gibt kein z, weil in der Differentialgleichung keine Zeit involviert ist?? Und dies wiederum führt zu keinen Eigenwerten?
Sie müssen die räumlichen und zeitlichen Teile getrennt halten, da die Funktion Ihres Grüns davon abhängt $\mathbf{r}$ Und $t$ . Da Sie ein konservatives System haben, hängt es nur von der Zeitdifferenz tt' ab und es ist einfach, die Gleichung im Frequenzbereich zu lösen $z$ . Die Poisson-Gleichung gilt für die Elektrostatik, also gibt es offensichtlich keine Zeitabhängigkeit.
@Josh "der einzige Grund, warum z da ist, ist die Zeitabhängigkeit zu berücksichtigen" - ja. Im Poisson-Fall verwenden Sie GF, um das Potenzial einer willkürlichen Ladungsverteilung zu erhalten, im Schrödinger-Fall werden Sie voll $x$ Und $t$ Abhängigkeit der Wellenfunktion für beliebige Anfangsbedingungen.
Das Konzept ist für beide Fälle dasselbe, aber $t$ fügt eine zusätzliche Dimension mit einer speziellen Symmetrie hinzu (Zeittranslationsinvarianz).
Vielen Dank, ich glaube, ich bekomme das endlich hin. Für ein freies Teilchen erhalten wir also das Resolvent $1/(z-L)$ Dies ist auch unsere Greens-Funktion, wenn Sie die Dirac-Notation verwenden $\sum_n |\phi_n><\phi_n| = 1$ Wir setzen dieses Bit in den Zähler und erhalten $G = \frac{\sum_n |\phi_n><\phi_n|}{z - \lambda}$ . Für ein freies Teilchen sind die Eigenwerte $k^2 /2m$ (Ich denke, wir arbeiten in Einheiten, in denen $\hbar=1$ was wir wiederum sagen können $z = E$ ) was bedeutet, dass wir als Ergebnis haben $G = \frac{1}{E - \frac{k^2}{2m}}$
@Josh Herzlichen Glückwunsch! :) Vergessen Sie nicht, die Antwort zu "akzeptieren", die Sie am nützlichsten finden.

QMechaniker · Answer 2

$z\in\mathbb{C}$ ist ein komplexer Parameter oder, wenn Sie möchten, ein spektraler Parameter. Wenn $z\in\mathbb{C}\backslash {\rm Spec}(L)$ liegt nicht im Spektrum des Betreibers $L$ , dann der Betreiber $L-zI$ ist invertierbar, und wir können die Auflösung bilden ,

(L - z ICH)^{- 1} .

$(L-zI)^{-1}.$ So führt Economou ein

1

$1$ -Parameterfamilie

(G (z))_{z \in C}

$(G(z))_{z\in\mathbb{C}}$ der Grünen Funktionen. Wenn

z = 0

$z=0$ , reduziert sich die zweite Gleichung in der Frage (v1) auf die erste Gleichung (wenn wir die unterschiedliche Vorzeichenkonvention und unterschiedliche Notation ignorieren).

Danke für die schnelle Antwort. Wenn ich das also richtig verstehe, ist das Spektrum von L einfach seine Menge von Eigenwerten ( $\lambda_n$ in diesem Fall). Wenn $z =/= \lambda_n$ dann ist es möglich zu invertieren $L-z$ was wird als Resolvent definiert? Diese Resolvente ist überall dort analytisch, wo z nicht im Spektrum von L liegt? Wann/warum würden wir jemals z=0 setzen und was genau bedeutet das, nur ein Eigenwert?
@Josh "Diese Auflösung ist überall dort analytisch, wo z nicht im Spektrum von L liegt?" - Ja, so ist es. "Wann würden wir jemals z=0 setzen" - niemals, wenn wir die Shrodinger-Gleichung lösen und nicht zB Poisson.

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