SU(2)SU(2)SU(2) Symmetrie des Hubbard-Modells

Ich bin verwirrt mit der$SU(2)$Spinrotationssymmetrie des Fermions Hubbard Hamiltonian. Wenn das Hubbard-Modell hat$SU(2)$Rotationssymmetrie bedeutet, dass der Hubbard-Hamiltonoperator mit dem globalen Spin-Operator in alle Richtungen pendelt:

$$\begin{equation} [\vec S, H] = 0 ~~,~~ \vec S = \frac{1}{2}\sum_{i} \begin{pmatrix} c^{\dagger}_{i \uparrow} & c^{\dagger}_{i \downarrow} \end{pmatrix} \vec{\sigma} \begin{pmatrix} c_{i \uparrow} \\ c_{i \downarrow} \end{pmatrix} \end{equation}$$ Wo$\vec \sigma$sind die Pauli-Matrizen in Vektorform. Meine Verwirrung ist, ob$[\vec S, H] = 0$impliziert$[S_{x}, H] = [S_{y}, H] = [S_{z}, H] = 0$. Ich habe bewiesen, dass sie gleich Null sind, aber ich dachte, dass meine Berechnung falsch war. Der Grund, warum ich denke, dass meine Berechnung falsch ist, da beides der Fall ist$S_{x}, S_{y} , S_{z}$pendelt mit$H$, bedeutet dies, dass sie gleichzeitig dieselben Eigenzustände und teilen$[S_x, S_y] = 0$. Das kennen wir aber aus dem QM-Grundkurs: $$\begin{equation} [S_{i}, S_{j}] = i \epsilon_{ijk} S_{k} ~~,~~ ijk = xyz \end{equation}$$ Meiner Meinung nach,$[S_{x}, H] = [S_{y}, H] = [S_{z}, H] = 0$ist nicht wahr, weil sie nicht befriedigen können$SU(2)$Kommutierungsbeziehung, wenn alle mit kommutieren$H$. Darf ich wissen, ob das wahr ist?$[\vec S, H] = 0$impliziert$[S_{x}, H] = [S_{y}, H] = [S_{z}, H] = 0$?