Was ist der Unterschied zwischen Resolvent- und Grünfunktion?

Sie sind eng miteinander verwandt: die Resolvente der Eigenwertgleichung eines selbstadjungierten Operators$\hat{A}$ist die vom Operator bewertete Funktion, definiert als

$$G_\lambda=(\hat{A}-\lambda \hat{1})^{-1}$$

Wir nennen die Greensche Funktion den Kern der Resolventen [den Kern einer integralen Transformation], der die Lösung der homogenen Differentialgleichung ist

$$(\hat{A} -\lambda)G_\lambda (\mathbf{x},\mathbf{y})=\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})$$

für geeignete Randbedingungen. Daher

$$(\hat{A}-\lambda)\int_{\mathbb{R}^3}d\mathbf{y} \,G_\lambda(\mathbf{x},\mathbf{y}) \psi(\mathbf{y})=\psi(\mathbf{x})$$

für jede kontinuierliche$\psi(\mathbf{x})$In$L_2(\mathbb{R}^3)$im Falle$\hat{A}$ist ein Differentialoperator.