Zusammenhang zwischen Hubbard-Stratonovich und (verallgemeinerten) kohärenten Zuständen

Eine einfältige Mean-Field-Approximation für das Bose-Hubbard-Modell besteht darin, Operatoren als zu schreiben A ^ ich = a ich + δ a ^ ich , a ich ∈ C und beinhalten nur Terme bis zur zweiten Ordnung in δ a ^ . Unter Verwendung kohärenter Zustände/Verschiebungsoperatoren kann dies geschrieben werden als

H ( { A ^ ich } ) = D ( { − a ich } ) H ( ( { a ich + δ A ^ ich } ) ) D ( { − a ich } ) † = D ( { − a ich } ) H ( 2 ) ( ( { a ich + δ A ^ ich } ) ) D ( { − a ich } ) †

Wo H ( 2 ) ist quadratisch, D ( a ) = exp ⁡ ( a A ^ − a ∗ A ^ † ) Und D ( { − a ich } ) = ⨂ ich D ( a ich ) . In dieser Näherung ist der Grundzustand von H ( 2 ) wird auf das Minimum des mittleren Feldes "verschoben" und so können wir haben a ich = ⟨ A ^ ich ⟩ ≠ 0 . In einem Bose-Hubbard-Modell wäre dies in der superfluiden Phase.

Mit einer Hubbard-Stratonovich-Transformation, die beispielsweise in der BCS-Theorie verwendet wird, erhält man ebenfalls einen quadratischen Hamilton-Operator und ⟨ C ^ k C ^ − k ⟩ ≠ 0 . Gibt es in diesem Fall eine ähnliche "Verschiebung" oder einen ähnlichen verallgemeinerten kohärenten Zustand, der verschränkte Fermionenpaare verschiebt? Ich habe mir paarkohärente Zustände (siehe Abschnitt 2 von https://arxiv.org/pdf/quant-ph/0607162.pdf ) als Kandidaten angesehen. Bitte beachten Sie, dass mir die BCS-Wellenfunktion bekannt ist - ich möchte ihre Beziehung (und andere HS-entkoppelte Lösungen) zu kohärenten Zuständen / Verschiebungsoperatoren verstehen, unabhängig von fermionischen / bosonischen / usw. Statistiken.

Siehe auch:

Hubbard-Stratonovich-Transformation und Mean-Field-Approximation

Hubbard-Stratonovich-Transformation in der Operatorform

Hallo, hast du schon eine bessere Antwort? Zufällig schaue ich mir in diesen Tagen Gaußsche Zustände an und bin wieder auf Ihre Frage zurückgekommen. Anscheinend habe ich Ihre vorherigen Kommentare nicht richtig verstanden - Entschuldigung dafür. In früheren Kommentaren sagten Sie: "Das Vakuum der Quasiteilchen / Paare - legt den entsprechenden bosonischen Operator nicht fest". Aber da Quasiteilchen und ursprüngliche Teilchen durch eine einheitliche Transformation entweder im Fermion- oder im Bosonenfall verwandt sind, sollte das Vakuum nicht in jeder Hinsicht einzigartig sein?
Dieser Aussage stimme ich nach wie vor zu! Was ich mit „den entsprechenden bosonischen Operator nicht fixieren“ meinte, bezog sich auf paarkohärente Zustände (siehe das Papier, das ich oben verlinkt habe). Es gibt viele unitäre Operatoren für ein Bosonenpaar, die als "Paar" kohärenter Bosonen interpretiert werden könnten. Warum genau dieser (der einem zweimodigen gequetschten Zustand entspricht und spezielle und interessante Verschränkungseigenschaften hat)?
Das energetische Argument für die Paarkondensation ist wahrscheinlich die beste Erklärung! Aber es gibt kompliziertere Fälle, wie Quanten-Spin-Flüssigkeiten. Warum ist ein gequetschter Zustand mit zwei Moden ein guter Ansatz für die Paarkondensation? Ist vielleicht eine andere Art, umzuformulieren, woran ich noch denke. Ich werde versuchen, dies zu beantworten, wenn ich Zeit habe!

Antworten (1)

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob Sie danach suchen, aber lassen Sie mich aufschreiben, was ich weiß.

Aus einer Bogliubov-Transformation wie unten diagonalisieren wir den Hamilton-Operator:

H = ( C k , ↑ † C − k , ↓ ) M k ( C k , ↑ C − k , ↓ † ) = ( γ k , ↑ † γ − k , ↓ ) Ω k † M k Ω k ( γ k , ↑ γ − k , ↓ † ) = ( γ k , ↑ † γ − k , ↓ ) Λ k ( γ k , ↑ γ − k , ↓ † )
wobei die Transformation, die die Fermion-Kommutationsbeziehung aufrechterhält, lautet:
Ω k = ( u k − v k v k ∗ u k ∗ )
der Einfachheit halber könnten wir definieren:
u k = e − ich θ k 1 + | G k | 2 v k = G k e ich θ k 1 + | G k | 2

Dann könnte die Grundzustandswellenfunktion geschrieben werden als:

| G S ⟩ ∝ e ∑ k G k C k , ↑ † C − k , ↓ † | 0 ⟩
bis auf eine Normierungskonstante, wo | 0 ⟩ ist das Vakuum des ursprünglichen Fermions (Elektronen) C k , σ .

Dass dies der Grundzustand (genauer Mittelfeld-GS) ist, lässt sich aus der Berechnung für Arbitrary ersehen γ k , σ Das:

γ k , σ | G S ⟩ = 0
was darauf hindeutet | G S ⟩ ist das Vakuum von Quasiteilchen γ k , σ .

Auf diese Weise lassen sich Kondensationswellenfunktionen von Fermionenpaaren konstruieren. Auch für die Kondensation von Bosonenpaaren gibt es einen ähnlichen Weg, der in Gl. (3.8) von Phys. Rev. B 42, 4568. Der Strukturunterschied ergibt sich mathematisch nur aus den unterschiedlichen Kommutierungsbeziehungen, die den Diagonalisierungsprozess beeinflussen.

Das Read-Sachdev-Papier war hilfreich, danke! Anscheinend ist das der „Verschiebungsoperator“ für die Bosonenpaar-Kondensation exp ⁡ ( − ∑ k F k B k † B − k † ) Aber die Bedingung, die Sie für den fermionischen Grundzustand angeben - dass es sich um das Vakuum der Quasiteilchen / Paare handelt - legt meines Erachtens nicht den entsprechenden bosonischen Operator fest. Es gibt viele verschiedene bosonische Operatoren U so dass [ U , A k A − k ] = 0 , beispielsweise ein Produktzustand zweier kohärenter Zustände einschließlich Moden k , − k usw...
Ich bin mit dem Verschiebungsoperator nicht sehr vertraut, ich denke, er wird eher in der Quantenoptik verwendet. Die Beziehung zwischen Read-Sachdevs Boson | G S ⟩ und das obige Fermion | G S ⟩ ist jedoch einfach: Sie sind beide das Vakuum eines neuen Satzes von Quasiteilchen, die aus der Bogliubov-Transformation erhalten werden, und können in ursprünglichen Teilchen als ein kohärenter Zustand ausgedrückt werden, der die Kondensation beschreibt. Im Fermion-Fall, wenn Sie sehr grob einen Paaroperator definieren C k = C k ↑ C − k ↓ , Dann e G k C k stellt nur einen kohärenten Zustand dar.
@plan Ähm ... Ignorieren Sie es einfach, wenn Sie nicht danach suchen ....
Das klärt mich einiges über die Kondensation von Schwinger-Bosonen auf, aber aufgrund meines Quantenoptik-Hintergrunds bin ich immer noch neugierig, warum eine einfache Potenzierung des Paar-Operators die richtige ist! In der Quantenoptik gibt es viele andere Möglichkeiten, Paare verschränkter kohärenter Zustände zu definieren.
@plan Ich habe Hintergrund mit kondensierter Materie. Nach meinem Verständnis ist sowohl für Schwinger-Boson- als auch für BCS-Mean-Field-Fälle das Auftreten eines Paaroperators physikalisch darauf zurückzuführen, dass der Paarungsmechanismus die Energie senken kann, was aus dem Hamilton-Operator ersichtlich ist – aber ich denke, Sie wissen das bereits. Daher möchte ich es aus einer energetischen Perspektive erklären – der kohärente Zustand, der direkt in den Paaroperator geschrieben ist, hat die niedrigste Energie – anders als aus einer verschränkten Perspektive.
@plan Der Grund im Bose-Hubbard-Modell-Single-Boson-Displacement-Operator gibt Ihnen direkt den Grundzustand, ist eigentlich ein Ergebnis der Mean-Field-Approximation - Sie nehmen die freie Boson-Kondensation als Ausgangspunkt der Störung und dann in der Mean-Field-Approximation der Grundzustand wäre nur ein "verdrängter Zustand". Daher nehmen Sie dort bereits eine Kondensation im ursprünglichen einzelnen Boson an und modifizieren dann einfach Ihre Bosonen in einige Quasi-Bosonen unter Berücksichtigung der Wechselwirkung; während Sie in SB und BCS nicht wissen, was die kondensierten Teilchen sind, und die energetische Analyse Ihnen sagt, dass es sich um gepaarte Teilchen handelt.
Zusammenhang zwischen Hubbard-Stratonovich und (verallgemeinerten) kohärenten Zuständen
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