Fermionischer Hamiltonoperator: Fragen zur Bogoliubov-Transformation und Hermitizität

In Abschnitt 2.A.2 von Quantum Ising Phases and Transition in Transverse Ising Models von Suzuki et. Al. die Autoren geben in ihrer Herleitung der Bogoliubov-Transformation für einen Hamilton-Operator Folgendes an

H = ∑ ich J C ich † A ich J C J + 1 2 ∑ ich J C ich † B ich J C J †

mit A Hermitesch und B antisymmetrisch und C ich Fermionische Operatoren.

Man macht eine lineare Transformation der Form

η Q = ∑ ich ( G Q ich C ich + H Q ich C ich † )

η Q † = ∑ ich ( G Q ich C ich † + H Q ich C ich )

Wo G Q ich Und H Q ich kann als echt gewählt werden. Für η Q um die fermionischen Antikommutierungsbeziehungen zu erfüllen, die wir benötigen

∑ ich ( G Q ich G Q ' ich + H Q ich H Q ' ich ) = δ Q Q '
∑ ich ( G Q ich H Q ' ich − G Q ' ich H Q ich ) = δ Q Q '

Meine Fragen sind folgende:

  1. Ich verstehe warum, wenn B = 0 , A Da es sich um eine hermitische Matrix handelt, wird dies sichergestellt H ist ein hermitescher Operator. Aber ich verstehe nicht, wie dieser Hamiltonian für Nicht-Null Hermitesch ist B .

  2. Ich sehe nicht, wie die zweite Gleichung

    ∑ ich ( G Q ich H Q ' ich − G Q ' ich H Q ich ) = δ Q Q '
    folgt. Ich kann sehen, dass wenn kommt [ η Q , η Q ' ] + = 0

Aber wenn ich die Berechnung mache [ η Q , η Q ' ] + Ich bekomme:

[ η Q , η Q ' ] + = [ ∑ ich ( G Q ich C ich + H Q ich C ich † ) , ∑ J ( G Q ' J C J + H Q ' J C J † ) ] + = ∑ ich J G Q ich G Q ' J [ C ich , C J ] + + G Q ich H Q ' J [ C ich , C J † ] + H Q ich G Q ' J [ C ich † , C J ] + + H Q ich H Q ' J [ C ich † , C J † ] +

Dann benutze das [ C ich , C J ] + = [ C ich † , C J † , ] + = 0 Und [ C ich , C J † ] + = [ C ich † , C J ] + = δ ich J ICH , wir bekommen

∑ ich ( G Q ich H Q ' ich + G Q ' ich H Q ich ) = δ Q Q '

was im Widerspruch zu obiger Gleichung steht. Ich könnte die obige Gleichung sehen, wenn wir Kommutierungsbeziehungen hätten, aber wir sprechen speziell über fermionische Operatoren. Wo gehe ich falsch? Macht das Buch versehentlich den Bosonic-Fall?

Antworten (1)

Ich habe die Antworten gefunden, nach denen ich gesucht habe. Um meine Fragen zu beantworten, haben wir:

  1. Der Hamiltonian ist nicht wie geschrieben hermitesch. Ich habe die weggelassen H . C . am Ende, weil ich nicht wusste, was es bedeutete und dachte, es wäre irrelevant. Es stellte sich heraus, dass es äußerst relevant war, weil es „hermitisch konjugiert“ bedeutete, was bedeutet, dass wir das hermitisch konjugierte von dem, was geschrieben steht, hinzufügen. Dadurch wird der Hamiltonsche Hermitescher.

  2. Meine Berechnung ist richtig. Das Ergebnis in dem Buch stammt aus diesem Papier . Das Papier gibt mein Ergebnis an, das eigentlich das Ergebnis ist, das im Rest der Ableitung verwendet wird.

Wenn Sie dieses Buch verwenden, beachten Sie, dass es – zumindest in diesem Abschnitt – zahlreiche Tippfehler gibt. Unterhalb dieser Herleitung schreiben die Autoren

[ η Q , H ] + − ω Q η Q = 0

wenn sie meinen

[ η Q , H ] − ω Q η Q = 0

und später beziehen sie sich auf eine Gleichung, wenn sie eine andere meinen. Sei vorsichtig.

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