Verwandter Beitrag Können wir die Äquivalenz zwischen kanonischer Quantisierung von Feldern und zweiter Quantisierung von Teilchen "trivialisieren"?
Einige Bücher der Vielteilchenphysik, zB ALFetter und JDWalecka in Quantum theory of much-particle systems , behaupteten, dass auf nicht-relativistischer Ebene Quantenmechanik (QM) und Quantenfeldtheorie (QFT) gleichwertig seien. Sie bewiesen die zweiten quantisierten Operatoren
dieselben Matrixelemente wie die "zuerst quantisierten" erhalten könnten. Hier und stehen für kinetische bzw. Wechselwirkungsoperatoren.
Einige Bücher, H. Umezawa et al. Thermo field dynamics and condensed states in Kapitel 2, behaupteten jedoch, dass selbst auf nicht-relativistischer Ebene QFT nicht mit QM äquivalent ist. Sie verwendeten eine Reihe von Ableitungen (zu lang, um sie hier vorzustellen, ich kann bei Bedarf einige Schritte hinzufügen), und zeigten, dass die Bogoliubov-Transformation mit unendlichem Raumvolumen einheitliche inäquivalente Darstellungen ergibt. Im QM sind alle Darstellungen einheitlich äquivalent. Daher sind QM und nicht-relativistische QFT nicht äquivalent. Wie sie jedoch in p32 sagten
Dies könnte darauf hindeuten, dass die oben erwähnte einheitliche Ungleichheit in Wirklichkeit möglicherweise nicht auftritt, da jedes System eine endliche Größe hat. Diese Sichtweise erscheint jedoch zu optimistisch. Um ein stationäres System endlicher Größe zu betrachten, sollten wir die Auswirkungen der Grenze ernsthaft berücksichtigen. Wie in späteren Kapiteln gezeigt wird, wird diese Grenze von einigen kollektiven Moden im System aufrechterhalten und verhält sich wie ein makroskopisches Objekt mit einer Oberflächensingularität, die selbst unendlich viele Freiheitsgrade hat.
Dennoch ist Surface ein idealisiertes Konzept. In Wirklichkeit ist die Grenze zwischen zwei Phasen eine mikroskopische allmähliche Änderung der Verteilung von Kernen und Elektronen. Meine Frage lautet: Ist das Argument der Oberflächensingularität von Umezawa et al . ein rein akademisches Problem? Die wissenschaftliche Frage hier bedeutet, wenn ich genügend Rechenleistung habe, berechne ich alle Elektronen und Kerne quantenmechanisch, könnte ich die experimentellen Ergebnisse bis auf relativistische Korrekturen sehr gut reproduzieren.
PS Die Terminologie "zweite Quantisierung" ist möglicherweise nicht angemessen, da wir das System nur einmal quantisieren. Trotzdem konnte ich damit leben.
„Sie [...] zeigten, dass die Bogoliubov-Transformation mit unendlichem Raumvolumen einheitliche inäquivalente Darstellungen liefert.“ Ja, das ist ein wichtiger Effekt und die Quelle für Phänomene wie Phasenübergänge und Supraleitung. Die isotrope Grenze des unendlichen Raumvolumens wird als thermodynamische Grenze bezeichnet. Es spielt überall in der Ableitung der klassischen Thermodynamik aus der klassischen oder statistischen Quantenmechanik eine Rolle und löscht alle Oberflächeneffekte aus.
Ohne thermodynamische Grenze gäbe es keine Phasenübergänge! Die statistische Mechanik eines Systems mit endlich vielen Teilchen führt immer zu einer Zustandsgleichung ohne Sprünge in den Antwortfunktionen. Letztere (also die Phasenübergänge im Sinne der Thermodynamik) treten nur im thermodynamischen Limes auf. (In der Tat kann ein System als makroskopisch definiert werden, wenn die thermodynamische Grenze eine geeignete Idealisierung ist. Beachten Sie, dass die Avogadro-Zahl ist gut durch Unendlich angenähert.)
Die durch die Ableitung der zweiten Quantisierung nahegelegte Äquivalenz mit der gewöhnlichen Quantenmechanik gilt nur bei einer festen Teilchenzahl. Aber die Quantenfeldtheorie ist die Formulierung bei einer unbestimmten Anzahl von Teilchen. Dies erfordert bereits (auch ohne den thermodynamischen Grenzwert und unabhängig von Oberflächeneffekten) einen Hilbert-Raum mit unendlich vielen Freiheitsgraden, in dem die kanonischen Vertauschungsbeziehungen unendlich viele inäquivalente einheitliche Darstellungen haben.
Juanrga