Dirac-Gleichung in QFT vs. relativistische QM

Ihr Problem hängt nicht nur mit der Dirac-Gleichung zusammen, sondern mit jeder Feldgleichung, die Sie haben. Ihre Frage bezieht sich auf die Interpretation des Feldes als Wellenfunktion eines Teilchens. Es gibt zwei Konzepte, die ich hier zeigen möchte, die Ihre Frage beantworten könnten: Felder und Wellenfunktionen (sie sind verschiedene Dinge).

• Ein Feld ist ein Objekt$\phi_{\alpha} (x)$, Wo$x$verhält sich wie ein Ereignis in der Raumzeit und$\alpha$ist ein Index, der eine endliche Darstellung der Lorentz-Symmetrie trägt . Sie gehorchen einigen Gleichungen, die sich auf die beziehen$\alpha$Indizes und die$x$, aber das spielt hier keine Rolle. Relevant ist, dass sie auch der Klein-Gordon-Gleichung gehorchen, die gegeben ist durch

  $$\partial^2\phi_{\alpha}= \pm m^2\phi_{\alpha},$$ für die metrische Signatur ($\pm,\mp, \cdots,\mp$).

• Eine Wellenfunktion ist eine Darstellung eines Quantenzustands in einer bestimmten Basis.

  $$\psi (x)=\langle x|\psi\rangle$$ Wo$|x\rangle$sich wie ein Ereignis verhalten (in der nicht-relativistischen Quantenmechanik ist dies$(t,\vec {x})$). Es stellt sich heraus, dass dieser Zustand$|x\rangle$in der relativistischen Quantenmechanik ist: $$|x\rangle=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}}\sqrt{\frac{k^0}{p^0}}e^{-ipx}|p\rangle$$ Sie können sich als Übung beweisen. Beachten Sie, dass es eine Quadratwurzel gibt, die verhindert, dass dieses Integral eine einfache Fourier-Transformation von ist$|p\rangle$, der Eigenvektor von P (Erzeuger von Translationen). Die Menge der Zustände$|x\rangle$stellt seitdem keine orthogonale Basis dar $$\langle x|y \rangle \neq 0$$ und dafür ist die Quadratwurzel in obiger Formel verantwortlich. Also, wenn wir mit einer Wellenfunktion arbeiten$\langle x|\psi\rangle$in einer relativistischen QM haben wir es mit einer übervollständigen Basisdarstellung zu tun.

Wenn wir nun unsere Sprache aktualisieren und zum zweiten Quantisierungsframework übergehen, das wir haben

$$|x\rangle=a^{\dagger}_x|0\rangle$$ Definition linearer Kombinationen von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren der Form: $$\phi(x)=Aa_x+Ba_x^{\dagger}$$ so dass$[\phi(x),\phi^{\dagger}(y)]= 0$bei raumähnlichen Trennungen ist eine nützliche Konstruktion, um lokale Wechselwirkungen der relativistischen QM zu modellieren. Dies führt zum Unternehmen der Quantenfeldtheorie .

Das Feld wird nicht als Wellenfunktion, sondern als Operator interpretiert$\hat{\psi}$die Partikel erzeugt/vernichtet. Dieses Quantisierungsverfahren wird durchgeführt, indem das Feld in seinen Fourier-Komponenten erweitert wird, die von Impuls, Spin usw.$a_s(p)$,$a_s^\dagger(p)$,$b_s(p)$,$b_s^\dagger(p)$(die Tatsache, dass diese$\hat{\psi}$Operatoren sind nicht selbstkonjugiert, erfordert die Einführung dieser beiden Arten) und ihre Interpretation als Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren von Teilchen/Antiteilchen mit einem solchen Impuls und Spin. Dann, nachdem die richtigen (Anti-) Kommutierungsbeziehungen für diese Operatoren festgelegt und der Vakuumzustand definiert wurden,$|0\rangle$als der Staat von al der vernichtet$a$s, wir bauen die Einzel- und Mehrteilchenzustände als auf$a^\dagger$Es wirkt auf das Vakuum, genau wie wir es mit dem einfachen harmonischen Oszillator tun. Zum Beispiel

$$|p_1,s_1;p_2,s_2\rangle = a_{s_1}^\dagger(p_1) a_{s_2}^\dagger(p_2) |0\rangle$$ (Ich ignoriere die Normalisierung, falls jemand fragt) Und das gleiche mit dem $b^\dagger$s für Antiteilchen.

Nun gibt die Dirac-Gleichung die Entwicklung solcher Operatoren an und der Hamilton-Operator selbst, der eine Kombination dieser Operatoren ist und auf diese Zustände einwirkt, ergibt positive Energien.

Falls Sie sich fragen, dass Zustände bestimmter Orte mit den auf das Vakuum wirkenden Feldoperatoren konstruiert werden, so wäre beispielsweise die Wellenfunktion eines bestimmten Impuls- und Spinzustands so etwas wie

$$\psi(x) = \langle x | p,s\rangle = \langle 0 |\hat{\psi}\,a_s^\dagger(p)|0\rangle$$ Wieder Ignorieren der Normalisierung.

Wie Dirac und andere gezeigt haben, ist QFT eine disjunkte Theorie von RQM; folglich kann QFT die Probleme von RQM nicht lösen. Sie müssen den Abschnitt „8.3 Löst QFT die Probleme der relativistischen QM?“ überarbeiten. der Phys. Gefunden. Papier Quantenmechanik: Mythen und Fakten . Das ist das Fazit:

Anstatt also zu sagen, dass QFT die Probleme der relativistischen QM löst, ist es ehrlicher zu sagen, dass sie sie lediglich unter den Teppich kehrt.

Es gibt einige kleine historische Referenzen.

Die Dirac-Gleichung hat zwei lineare Lösungen, die die Eigenzustände des Dirac-Hamiltonschen sind: Die erste bezieht sich auf die positiven Energiewerte, während sich die zweite auf die negativen bezieht. In der klassischen Feldtheorie können wir dieses Problem umgehen, indem wir die trivialen Anfangsbedingungen setzen$\psi (\mathbf r , t)$für negative Werte, aber in der Quantentheorie sagt es nicht die Abwesenheit von "negativen" Zuständen voraus, weil es mögliche diskrete Übergänge zwischen "positiven" und "negativen" Zuständen gibt. Das Problem der negativen Energien ist sehr wichtig, weil das Fehlen von Beschränkungen der negativen Energiezustände Dinge wie Perpetuum Mobile fördert. Es ist experimentell unbeobachtet.

Dirac löste dieses Problem phänomenologisch, indem er der Freifeldtheorie die Dirac-Seekonzeption hinzufügte. Dies ergibt die unendliche Anzahl gebundener Teilchen mit negativen Energien, die das Fehlen freier Lösungen mit negativen Energien aufgrund des Pauli-Prinzips ermöglicht. Aber gleichzeitig bestimmt es die Prozesse der Vernichtung oder Verarbeitung von Teilchen. Zum Beispiel, wenn im Vakuum der Ruhezustand mit negativer Energie herrscht$-E$, das freie Elektron mit Energie$2E$kann diesen Zustand unter Abgabe von Energie einnehmen$2E$(es ist gleichbedeutend mit der Vernichtung von Teilchen). So ist es möglich, die Gesamtzahl und Ladung freier Teilchen zu verringern.

Aber es gibt nichts Kritisches, um die Dirac-Theorie als Ein-Teilchen zu interpretieren, weil die gebundenen Elektronen nicht miteinander wechselwirken können: Wechselwirkung bedeutet Übergang von einem gebundenen Zustand in einen anderen, aber das ist wegen des Pauli-Prinzips unmöglich. Im Fall freier Dirac-Teilchen ist diese unendliche Zahl also aufgrund von Isotropie und Homogenität der Raumzeit nicht beobachtbar, und selbst nach Annahme der Dirac-See-Konzeption können Sie die Dirac-Gleichung immer noch als Einteilchen-Gleichung interpretieren. Aber lassen Sie uns ein externes Feld einführen. Es kann mit dem Dirac-Meer interagieren und die Partikel daraus herausziehen. Die Dirac-Theorie hört also auf, eine Ein-Teilchen-Theorie zu sein, wenn das externe Feld mehr Energie als ene abgeben kann$2mc^2$.

All diese Überlegungen führten zur Quantenfeldtheorie. Alle Ideen und Probleme, die ich beschrieben habe, sind immer noch im Quantisierungsformalismus vorhanden (unendliche Vakuumenergie, Erzeugungs- und Zerstörungsoperatoren, Streuprozesse mit Paarbildung in einem externen Feld usw.), aber es ist wichtig, die Gründe und Konsequenzen zu unterscheiden. In unserer Welt gibt es keine freien Teilchen mit negativen Energien - das ist ein Grund, warum wir die Quantenfeldtheorie einführen.