Warum brauchen wir eine 2nd2nd2^\text{nd} Quantisierung der Dirac-Gleichung?

Lösungen der Dirac-Gleichung wurden ursprünglich als mehrdimensionale Wellenfunktionen oder -zustände interpretiert. Jede Komponente ähnelt der guten alten nicht-relativistischen Quantenmechanik. Diese Nicht-Operator-Theorie wird manchmal als relativistische quantenmechanische Spinortheorie bezeichnet.

Ja, die zweite Quantisierung ist eine Methode, die schließlich erfordert, dass die Lösungen als Operatoren und nicht als Zustände interpretiert werden. Dies liegt daran, dass wir den Spielern der Lösungen bestimmte Kommutierungsbeziehungen auferlegen, die einfach kommutieren würden, wenn sie Zustände/Wellenfunktionen wären. Diese neue Theorie heißt QFT (für Spin-Half Particles).

Ein Nachteil der Nicht-Operator-Theorie ist, dass einige Zustände negative Energie haben. Anscheinend ist das schlecht. Die Operator-bewertete QFT-Theorie hingegen hat alle positiven Energien.

Quelle: Wenn es Ihnen nichts ausmacht, für Lehrbücher zu bezahlen, ist dies ein besonders selbstlernfreundliches.

Mein Verständnis ist, dass die ursprüngliche Dirac-Gleichung nur den Zustand eines einzelnen relativistischen Fermions beschreiben kann, während die zweitquantisierte Version verwendet werden kann, um Multi-Fermion-Zustände zu definieren. Siehe beispielsweise Abschnitt 4 des Papiers unter folgendem Link:

http://www.cond-mat.de/events/correl13/manuscripts/koch.pdf

Wenn Teilchenphysiker jedoch von zweiter Quantisierung sprechen, meinen sie meist die Quantisierung eines klassischen Feldes. In der klassischen Elektrodynamik bestimmt das elektromagnetische Feld die Kräfte, die auf ein geladenes Teilchen, beispielsweise ein Elektron, ausgeübt werden. In der gewöhnlichen Quantenmechanik ist das Elektron quantisiert – es wird durch einen Zustand oder eine Wellenfunktion beschrieben – während das elektromagnetische Feld dies nicht ist – es ist immer noch nur eine gewöhnliche Funktion von Raum und Zeit. In diesem Zusammenhang beinhaltet die zweite Quantisierung das Fördern des elektromagnetischen Felds zu einem Operator. Dazu muss man auch die spezielle Relativitätstheorie in die Theorie einbauen. Weitere Einzelheiten finden Sie im Buch von Peskin und Schroeder über die Quantenfeldtheorie.

Die Dirac-Gleichung ist eine relativistische Wellengleichung von a$1/2$drehen. Überraschenderweise gibt uns diese Gleichung eine positiv bestimmte Norm$\psi^\dagger\psi$, wann$\psi$ist ein Bi-Spinor:

Die$\psi_\pm$ist ein$\pm$Spinner.

Wir wissen, dass (Spezielle Relativitätstheorie) + (Quantenmechanik) die Teilchendichte und die Gesamtzahl der Teilchen unvereinbar macht. Wenn wir die Länge in der Nähe der Compton-Länge des Elektrons untersuchen, sind wir für diesen Effekt empfindlich.

Die Dirac-Gleichung kann nur sondieren$L\sim\alpha^2\lambda_c$, Korrekturen geben$\Delta E\sim\alpha^4mc^2$. Danach schlägt die Gleichung fehl. Tatsächlich funktioniert die Dirac-Gleichung in Bezug auf zwei Spinoren, die in Gegenwart eines Potentials mit vier Vektoren nicht geteilt werden können$A_\mu$. Im freien Fall können wir durch eine exakte Foldy-Wouthuysen-Transformation dividieren . Bei Vorhandensein des Potentials kann diese Transformation nur näherungsweise durchgeführt werden, ist aber nur bis interessant$L\sim\alpha^3\lambda_c$, wenn die Dirac-Gleichung falsch wird. Diese Transformation hilft uns, zwei Gleichungen zu finden, jede für jeden Spinor, wobei der Durchschnitt über die Paarproduktion genommen wird (Durchschnitt in$L\sim\alpha^3\lambda_c$). Beim Wasserstoffatom hat nur eine Gleichung gebundene Zustände. Diese Gleichung beschreibt das physikalische Elektron (zwei positive Ladungen, Proton und Positron bilden keinen gebundenen Zustand).

Die Dirac-Gleichung beschreibt die Inkompatibilität von Anzahl und Dichte von Teilchen, nimmt aber das EM-Feld als klassisch und vernachlässigt die Wechselwirkungen von Elektron-Positron-Paaren. Nur die Interferenz von Positron/Elektron wird als quantenrelativistischer Effekt betrachtet. Beachten Sie, dass das, was tatsächlich positiv definit ist, ist$\psi^\dagger\psi=\psi_+^\dagger\psi_++\psi_-^\dagger\psi_-=\psi_{electron}^\dagger\psi_{electron}-\psi_{positron}^\dagger\psi_{positron}$

Die exakte Lösung der Dirac-Gleichung ist für ein zentrales Potential einfach. In Bezug auf QFT – die richtige Art, relativistische Quantenmechanik zu betreiben – gibt uns die Lösung der Dirac-Gleichung eine gute Grundlage für Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren: Erzeugung und Vernichtung von Eigenzuständen der Dirac-Gleichung. Auf dieser Grundlage können die QED-Berechnungen hinsichtlich Störungen der Schleifenzahl genommen werden.

Als ich 1963 im letzten Jahr der Graduiertenschule war, belegte ich einen Semesterkurs über Quantenfeldtheorie, jede Menge Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren und jede Menge Theoreme. Ich war genauso amüsiert wie Sie, das Buch war Bogoliubov und wir waren Experten in der Manipulation von Schöpfungs- und Vernichtungsoperatoren geworden. Dann besuchte ich eine CERN -Sommerschule und der Vortrag von M. Veltman brachte alles auf den Punkt, warum wir mit Schöpfungs- und Vernichtungsoperatoren herumliefen.

"Schwache Wechselwirkungen nicht fremder Teilchen" löste das Rätsel. Es ging um die Berechnung von Querschnitten. Hurra, da war Physik im Wahnsinn :).

Diese kleine Geschichte von mir soll also veranschaulichen, dass zur Berechnung von Wirkungsquerschnitten vor dem Aufkommen der Feynman-Diagramme und der entsprechenden zweiten Quantisierung das Aufstellen der Integrale zur Berechnung von Wirkungsquerschnitten und deren Vergleich mit dem Experiment ein langwieriger Prozess war. (Bei einem Workshop, viel später im Jahr 1980, hörte ich von Feynman selbst, wie seine Verwendung von Feynman-Diagrammen es ihm ermöglichte, die Zeit für Berechnungen zu verkürzen, über die Kollegen während des Manhattan-Projekts erstaunt waren).

In der Teilchenphysik geht es um Wirkungsquerschnitte, alle erfolgreichen theoretischen Modelle müssen in Zahlen enden, die Wirkungsquerschnitte und Lebensdauern angeben, darum geht es in der Teilchenphysik.

Warum brauchen wir diese zweite Quantisierung der Dirac-Gleichung?

Zweite Quantisierung + Feynman-Diagramme vereinfachen das Leben.

Welche Experimente können nicht durch die ursprüngliche Dirac-Gleichung beschrieben werden?

Die Lösungen der Dirac-Gleichung, die Wellenfunktionen, werden als Grundlage verwendet, auf der die durch die Feynman-Diagramme vorgeschriebenen Integrale geschrieben und berechnet werden. Die zweite Quantisierung ist eine Metaebene, die meiner Meinung nach Berechnungen vereinfacht.

Hier ist meine eigene kleine Interpretation darüber, warum das Dirac-Feld "quantifiziert" werden sollte (dh ein Operator anstelle einer gewöhnlichen Wellenfunktion sein sollte), ohne all das Gerede über das Pauli-Prinzip, Vernichtungs-/Erzeugungsoperatoren und all das andere seltsame QFT-Zeug. Mir reicht es zu verstehen warum$\Psi$unten (nicht$\psi$) ist keine Wahrscheinlichkeitsamplitude.

In einem relativistischen Aufbau sollten alle fundamentalen Teilchen und Felder in der Natur irreduzible Darstellungen der Lorentz-Gruppe sein . Wir könnten also Skalar- , Vektor- , Tensor- und auch Spinorfelder haben .

Da sich jedes Feld im leeren Raum ausbreiten sollte, ohne die Kausalität zu verletzen, sollte das Feld einer wellenförmigen Differentialgleichung gehorchen (Klein-Gordon-Gleichung, wenn das Feld Trägheit hat;$m \ne 0$). Im Fall des elektromagnetischen Feldes$F^{ab}$(oder das Vektorfeld$A^a$), die sich im leeren Raum ausbreitet, gehorcht sie den Maxwell-Gleichungen, zu denen auch die Wellengleichung (mit$m = 0$) :

Nun, alle Felder sind im Prinzip beobachtbare Größen oder könnten beobachtbare Effekte haben (sonst ist es keine Physik !). Das elektromagnetische Feld ist als solches nicht direkt beobachtbar, könnte aber Auswirkungen auf elektrische Ladungen haben (die das Vorhandensein des elektromagnetischen Felds anzeigen könnten). Im Prinzip der Energie-Impuls-Tensor$T^{ab}$des EM-Feldes ist auch beobachtbar/messbar (da es um Energie , Impuls , Drehimpuls usw. geht). Also die$A^a$Feld sollte in der Quantenmechanik als Observable behandelt werden, was bedeutet, dass alle Observablen durch hermitesche Operatoren repräsentiert werden müssen.

Dasselbe gilt für das Spinorfeld$\Psi$. Es ist als solches nicht direkt beobachtbar, könnte aber auf ein elektromagnetisches Feld reagieren und könnte auch ein EM-Feld erzeugen (ggf$\Psi$ist kostenpflichtig). Sein Energieimpuls$T^{ab}$ist prinzipiell auch beobachtbar (Energie, Impuls, Drehimpuls usw.). In der Quantenmechanik sollte es also durch einen Operator dargestellt werden.

Im Allgemeinen haben Sie ein physikalisches Feld$\Phi$(Indizes unterdrückt), die sich in der Raumzeit als irreduzible Darstellung der Lorentz-Gruppe ausbreiten und somit einer partiellen Differentialgleichung der allgemeinen Form gehorchen

„Zweite Quantifizierung“ ist wirklich ein historischer Fehler, der in einer Epoche begangen wurde, in der viel Verwirrung über die Felder und Teilchen der Natur herrschte. Es ist einfach so, dass wir das Elektron zuerst als Teilchen entdeckt haben (dh im Zusammenspiel mit Messgeräten im Labor als „Teilchen“) und etwas später „wiederentdeckt“ haben, dass es wirklich nur ein weiteres Feld war, das sich in der Raumzeit ausbreitet. Elektron ist kein punktförmiges Teilchen! Wenn Sie ein wenig darüber nachdenken, ergeben grundlegende punktförmige Teilchen einfach überhaupt keinen physikalischen Sinn.

Da draußen gibt es keine echten Teilchen. Nur mathematische Felder (dh Darstellungen der Lorentz-Gruppe, die durch das Kausalitätsprinzip eingeschränkt sind), die sich wie Wellen ausbreiten und mit anderen Feldern wie Partikeln interagieren .

Die ursprüngliche Dirac-Gleichung berücksichtigt nicht das Pauli-Ausschlussprinzip ( https://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_exclusion_principle ), die zweite Quantisierung jedoch.

Wenn wir das elektromagnetische Feld quantisieren, beinhaltet der kanonische Ansatz, das Feld als eine Menge von Quantenoszillatoren in Form der klassischen Felder E und B auszudrücken . Dies gibt uns ein Bild des elektromagnetischen Feldes als Wellenfunktion auf der Grundlage von Fock-Zuständen, die Photonenbesetzungszahlen in verschiedenen verfügbaren Modi auf dem Feld beschreiben.

Die zweite Quantisierung, die auf andere Gleichungen wie das Klein-Gordon- oder das Dirac-Feld angewendet wird, behandelt diese Felder grundsätzlich auf der gleichen Grundlage wie das elektromagnetische Feld. Das bedeutet, dass wir die reine Dirac-Gleichung technisch als ein klassisches Elektronenfeld behandeln, wobei wir das Feld als einen Satz von Quantenoszillatoren für jede Feldmode aufschreiben.

Anders als im Fall des elektromagnetischen Feldes oder der KG-Felder muss die 2. Quantisierung des Dirac-Feldes mit Antikommutatoralgebra durchgeführt werden, um die Antisymmetrieeigenschaften des Pauli-Ausschlussprinzips zu bewahren.