Wie ist das Dirac-Feld vor der zweiten Quantisierung klassisch?

Nur um es in Ordnung zu bringen, die Felder werden nicht als klassisch bezeichnet , weil sie direkt messbar sind (elektromagnetisches Vektorpotential ist klassisch, aber auch nicht messbar), sondern weil sie nur (c-Zahl) Felder sind, wie

$$\psi: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb C \qquad \text{or equivalently} \qquad \psi(x) \in \mathbb C \quad \text{for} \quad x \in \mathbb R^n,$$ im Gegensatz zu Quantenfeldern , die vom Operator bewertet werden $$\hat \psi(x): \mathcal F \rightarrow \mathcal F$$ für jeden Punkt$x \in \mathbb R^n$im Raum wo$\mathcal F$ist der Fock-Raum, in dem sie agieren.

Mit anderen Worten, klassische (Schrödinger, Dirac) Wellenfunktion$\psi$ist ein Element eines Hilbert-Raums$\mathcal H$selbst,$\psi \in \mathcal H$, während ein Quantenfeld (Schrödinger, Dirac).$\hat \psi(x)$ist ein Operator im Fock-Raum$\mathcal F$(was mathematisch auch ein Hilbert-Raum ist).

In Bezug auf die erste und zweite Quantisierung postuliert man in der Hamiltonschen Mechanik, dass die Poisson-Klammern für Ort und Impuls Kommutatoren der Orts- und Impulsoperatoren werden

$$\{q^i, p_j\} = \delta^i_j \qquad \rightarrow \qquad [Q^i, P_j] = i\, \hbar\, \delta^i_j$$ während man in der Feldtheorie postuliert, dass die Poisson-Klammern des Feldes und sein kanonischer Impuls zu Kommutatoren des Feldes und seiner Impulsoperatoren werden $$\{\phi(x), \pi(y)\} = \delta(x-y) \qquad \rightarrow \qquad [\Phi(x), \Pi(y)] = i\, \hbar\, \delta(x-y).$$ In beiden Fällen erhält man eine Algebra von Operatoren und sucht nach deren Darstellungen. Im ersten Fall ist es der Hilbertraum$\mathcal H$, im zweiten der Fockraum$\mathcal F$. Elemente von$\mathcal H$sind (Schrödinger, Dirac) erste quantisierte Wellenfunktionen$\psi$die, als klassische Felder behandelt, als zweites quantisiert werden , um Operatoren im Fock-Raum zu werden$\mathcal F$.

Ich persönlich bevorzuge die Bezeichnungen Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie als quantisierte Versionen der klassischen Mechanik bzw. der klassischen Feldtheorie.

Jede dieser Wellengleichungen – Maxwell, Schrödinger, Dirac, quadriertes Dirac, Pauli, Klein-Gordon – sind klassische Feldgleichungen. Ihre Lösungen sind klassische Felder, die sich wie Darstellungen der Poincaré-Gruppe verhalten. Es ist die Interpretation dieser klassischen Felder, die die Theorie zu „Quanten“ macht. Beispielsweise interpretiere ich das elektromagnetische Potential als Erwartungswert von Photonenzahl, Energie etc. So gehe ich mit Photonenschussrauschen um.

Ein Quantenfeld ist eine lineare Kombination von Operatoren zur Erzeugung/Vernichtung harmonischer Oszillatoren, wobei die Koeffizienten einer Wellenfunktion entnommen werden.

Ich denke, die gegebenen Antworten enthalten keine Weisheit (zumindest physische!). Ich kümmere mich nicht um die mathematische Interpretation einer Größe, um sie klassisch oder quantenmechanisch zu nennen, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass die Physik den Unterschied zwischen klassisch und quantenmechanisch bestimmt!

Antworten wie zu sagen, Quantenfelder sind operatorwertige Verteilungen und klassische sind c-Zahlen, sind nur Argumente und bedeuten nichts physikalisch Sinnvolles!

Ihre Frage ist aufgrund ihres sehr ehrlichen Standpunkts ziemlich weise und ich habe auch eine ehrliche Antwort darauf:

Klassische Hamiltonsche Gleichungen für Quantensysteme

Hier sehen Sie, wie man aus dem quantenmechanischen Hamiltonoperator eine klassische Theorie aufbauen kann.

Genau so kommt man für mich zu einer klassischen Feldtheorie für Dirac-Spinoren! Sie können Ihre Eigenbasis so wählen, dass sie Ort oder Impuls oder was auch immer Sie wollen, und dann ganz formell Diracs Lagrangefunktion aufstellen!

Ich denke, jeder ist sich einig, dass die komplexe Wurzel einer Wahrscheinlichkeitsverteilung sicherlich ein klassisches Feld ist, da es jedem Punkt des Raums eine Zahl (komplex oder reell oder Vektor usw.) zuweist. Dies ist die eigentliche Definition eines Feldes.

Auf diese Weise erreicht man ein klassisches System mit unendlich vielen Freiheitsgraden ("klassische" Oszillatoren, die an jedem Raumpunkt angebracht sind), die im nächsten Schritt quantisiert werden können (dh die Oszillatoren (Feldwerte) werden nicht mehr als klassisch angesehen). ). Es füllt die Lücke zwischen der ersten und zweiten Quantisierung, obwohl ich persönlich denke, dass man immer ein klassisches System auf jeder Ebene quantisiert, also macht es keinen Sinn zu sagen, dass es eine zweite Quantisierung gibt, die Konnotationen wie die Quantisierung eines bereits quantisierten Systems hat, was nicht der Fall ist!

Keine Notwendigkeit für Mathematik, soweit es einfache physikalisch sinnvolle Interpretationen gibt :)