Nichthermitizität von Dirac Lagrange: Nullimpuls?

Der übliche Dirac Lagrangian ist$L(\psi,\bar\psi)=\bar\psi(i\not\partial-m)\psi$. Die kanonischen Impulse sind

Die Tatsache, dass$\bar\pi=0$wird in den Büchern, die ich gelesen habe, nirgendwo besprochen. Wenn wir das ignorieren und weitermachen, können wir schreiben$\{\psi(t,x),\pi(t,y)\}=i\delta(x-y)$, was eigentlich gleichbedeutend ist mit$\{\psi(t,x),\psi^\dagger(t,y)\}=\delta(x-y)$.

Wir können die Lösung des EOM schreiben als

Außerdem beweisen wir, dass bspw.$\{b^s(p),b^t(q)\}=(2\pi)^3\delta_{st}\delta(p-q)$und eine ähnliche Beziehung für$c_p$. Danach beweisen wir das leicht$\{H,c_p^\dagger\}=\omega_p c_p^\dagger$, was bedeutet, dass$|p\rangle=c_p^\dagger|0\rangle$, Und$H|p\rangle=\omega_p|p\rangle$, dh,$|p\rangle$hat Energie$\omega_p$.

So weit, ist es gut. Wenn wir diese Theorie jedoch von Grund auf studieren würden, müssten wir auch auferlegen$\{\bar\psi(t,x),\bar\pi(t,y)\}=i\delta(x-y)$, was als unmöglich ist$\bar\pi=0$(Wir sollten diesen Kommutator auferlegen, weil die Felder sein sollen$\psi$Und$\bar\psi$: sie sind als unabhängige Variablen zu betrachten)

Es ist leicht ersichtlich, dass dies mit der Tatsache zusammenhängt, dass der Lagrangian nicht-hermitesch ist. Wir können dies beheben, indem wir die Gesamtableitung subtrahieren$\frac{i}{2}\partial_\mu(\bar\psi\gamma^\mu\psi)$; wir enden mit

Aus diesem neuen Lagrangian erhalten wir die gleiche PDE (Dirac-Gleichung), wie wir erwarten sollten. Außerdem sind die konjugierten Impulse beide nicht Null:

Es ist nicht schwer zu erkennen, dass dies zu demselben Hamiltonoperator wie zuvor führt. Das Problem kommt von der$\frac{1}{2}$Faktor ein$\pi,\bar\pi$: Sie tauchen hier und da auf. Beispielsweise werden die kanonischen Kommutierungsbeziehungen geändert$\{\psi(t,x),\psi^\dagger(t,y)\}=\boldsymbol{2}\delta(x-y)$, die wiederum äquivalent zu sind$\{b^s(p),b^t(q)\}=\boldsymbol{2}(2\pi)^3\delta_{st}\delta(p-q)$Und$\{H,c_p^\dagger\}=\boldsymbol{2}\omega_p c_p^\dagger$.

Diese letzte Beziehung ist schrecklich: ein Zustand$|p\rangle$hat Energie gleich$\boldsymbol{2}\omega_p$. Ich halte beide Ansätze für unbefriedigend, zumindest bis zu einem gewissen Punkt. Der erste ist der übliche Ansatz, aber der Lagrangian ist nicht hermitesch und der Impuls konjugiert zu$\bar\psi$ist null, sodass eine systematische Verwendung des CCR nicht möglich ist. Der zweite behebt diese beiden Probleme, hat die gleiche Bewegungsgleichung und den gleichen Hamilton-Operator, aber die CCR sind um den Faktor zwei falsch, was dazu führt, dass die Teilchen Energie sind$2\omega_p$anstatt$\omega_p$.

Ich weiß, dass es in SE viele Fragen gibt, die dieser ähnlich sind, wie z

Falsche Vorzeichen-Antikommutierungsrelation für das Dirac-Feld?

Dirac-Gleichung als Hamiltonsches System

usw.

aber diese Leute fragten nach Schildern oder anderen Problemen. Meine Frage bezieht sich auf die Faktoren von$2$die hin und wieder auftaucht und das Energiespektrum der Theorie verändert.

Schließlich gibt es diese Frage von Lagrange zu Hamilton im Fermionischen Modell , die ziemlich nahe kommt, aber die Frage ist nicht klar (einige freie Indizes im Lagrange) und OP sagt, dass sich der Hamilton mit dem neuen Lagrange ändert. Es ist leicht zu erkennen, dass dies nicht stimmt: Der Hamiltonian ist derselbe, aber die CCR sind unterschiedlich (und darauf wird nicht eingegangen). Außerdem behaupten die Antworten, dass sich die Impulse nicht ändern, was meiner Meinung nach nicht stimmt. Sie sagen auch, dass die Felder so sind$\partial \psi/\partial\bar\psi_{,0}\neq 0$, und dies wird nicht weiter erklärt (und ich weiß nicht einmal, ob es wahr ist oder nicht).

Also, kann bitte jemand Licht ins Dunkel bringen? Warum akzeptieren wir den ersten Ansatz ungeachtet seiner Mängel? Sollte das nicht der Fall sein$\bar\pi=0$Verdacht erregen? Warum funktioniert der zweite Ansatz nicht richtig?