Beweis, dass Eigenwerte von fermionischen Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren Grassman-Zahlen sind

Obwohl diese Gleichungen korrekt sind, ist es nicht ganz richtig, sie als Eigenwertgleichungen zu behandeln.

In der Quantentheorie wirken sowohl bosonische als auch fermionische Operatoren auf einen Hilbert-Raum, haben also gewöhnliche numerische Matrixelemente und Eigenwerte. Eine der möglichen Realisierungen des Hilbert-Raums im Fall von bosonischen Operatoren ist ein Hilbert-Raum von Funktionen auf einer Mannigfaltigkeit. In diesem Fall können die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren durch Kombinationen von Multiplikations- und Differentialoperatoren realisiert werden:

$$\hat{a}_b = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{x} + i \hat{p}) =\frac{1}{\sqrt{2}}(x + \frac{d}{d x})$$

Das Analoge im Fall von Fermionen besteht darin, den Hilbert-Raum als Raum von Funktionen auf einer Supermannigfaltigkeit und nicht über einer Mannigfaltigkeit zu konstruieren. Diese Aufgabe wird erfüllt durch:

1) Finden einer Darstellung mittels Multiplikations- und Differentiationsoperatoren auf dieser Mannigfaltigkeit der kanonischen fermionischen Algebra:

$$\{ a_f, a^{\dagger}_f \} = 1$$

2) Dann genügt für eine solche Darstellung die Wahl einer ungeraden komplexen eindimensionalen Mannigfaltigkeit:

$$a_f = \psi$$

$$a^{\dagger}_f = \frac{d}{d\psi}$$

Wo$\psi$ist eine komplexe Grassmann-Variable.

Eine Funktion auf dieser Mannigfaltigkeit der Form

$$f(\psi) = e^{\bar{\psi}\psi}$$

heißt kohärenter Zustand. Es ist richtig, sich die Exponentialfunktion als eine Taylor-Reihe vorzustellen. Die Taylor-Reihe wird nach dem ersten Glied abgeschnitten, weil$\psi$ist nilpotent, weil es eine Koordinate einer Supermannigfaltigkeit ist. Es ist leicht zu sehen, wenn man die Regeln der Grassmann-Algebra verwendet.

$$a_f f(\psi) = \psi f(\psi)$$ .

$$a^{\dagger}_f f(\psi) = \bar{\psi} f(\psi)$$

Dies sind nur die in der Frage angegebenen Gleichungen, aber sie sollten als Wirkung der kanonischen Operatoren auf den kohärenten Zustand interpretiert werden.

Es sollte erwähnt werden, dass dieser kohärente Hilbert-Zustand nur ein gewöhnlicher Hilbert-Raum ist, der durch Funktionen über einer Supermannigfaltigkeit ausgedrückt wird und das innere Produkt hat:

$$(g, f) = \int \overline{g(\psi) } f(\psi) e^{-\bar{\psi} \psi} d\bar{\psi} d\psi$$

Dieser Hilbert-Raum ist nur der zweidimensionale komplexe Vektorraum, der von den Vektoren erzeugt wird$1, \psi$. (Die Funktionen sind nicht abhängig von$\bar{\psi}$, sonst hätte es Nullvektoren gegeben und der Raum wäre nicht Hilbert).

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@ user10001 wie Sie bemerkt haben$a^{\dagger}_f$hat eine wohldefinierte Wirkung auf den von aufgespannten Hilbert-Raum$\{1, \psi \}$als Differentialoperator$\frac{d}{d\psi}$.

Zu Ihrer zweiten Frage habe ich eine leicht missbräuchliche Notation für den kohärenten Zustand verwendet, um die gleiche Art von Formeln wie in der Frage zu erhalten, eigentlich sollte man es schreiben als:$e^{\zeta^{\dagger}\psi}$, Wo$\zeta$, ist eine andere Grassmann-Nummer nicht$\psi$'s komplexes Konjugat. Sie können sich vorstellen$\zeta$als Grassmann-Zahl-Koeffizient. Der einzige Weg, den Sie bekommen$\psi^{\dagger}$ist in der komplexen Konjugation im Skalarproduktintegral.

In der (Missbrauchs-)Notation der Antwort ist jedoch alles in Ordnung$a^{\dagger}_f$zum kohärenten Zustand:

$$a^{\dagger}_f e^{\psi^{\dagger}\psi} = \frac{d}{d\psi}(1+\psi^{\dagger}\psi) =\psi^{\dagger}. 1$$

Das bedeutet, dass die Antwort proportional zum Vektor ist$1$im Hilbert-Raum mit einem Grassmann-Zahlenkoeffizienten$\psi^{\dagger}$.