Grassmannfelder nach Peskin und Schroeder

Selbst wenn man das Feld für eine Sekunde vergisst (d. h. die räumliche Abhängigkeit vergisst und sich nur auf eine Grassmann-Zahl konzentriert), kann eine Grassmann-Zahl als lineare Kombination anderer Grassmann-Zahlen geschrieben werden, wobei die Koeffizienten komplexe Zahlen sind. Zum Beispiel macht P&S das auf der vorherigen Seite (Seite 300), wenn sie eine „komplexe Grassmann-Zahl“ schreiben:$\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}(\theta_1 +i\theta_2)$. Diese Zahlen,$\theta_1$Und$\theta_2$, sind unabhängige Grassmann-Zahlen, und wir haben ausgedrückt$\theta$als Kombination davon.

Was wir also mit dem Feld sagen, ist, irgendwann im Weltraum$x$, ist eine Grassmann-Zahl definiert, die gleich der Linearkombination ist$\sum_i\psi_i\phi_i(x)$. Wir berücksichtigen die Tatsache, dass die Grassmann-Zahl bei, sagen wir,$x_1$unterscheidet sich von$x_2$indem zugelassen wird, dass die Koeffizienten in den linearen Kombinationen dieser beiden Grassman-Zahlen unterschiedlich sind ($\phi_i(x_1)$gegen$\phi_i(x_2)$).

Die orthonormalen Basisfunktionen$\phi_i(x)$sind die üblichen orthonormalen Basisfunktionen, die Sie gewohnt sind (Sinus, Cosinus, sphärische Harmonische usw.).

Alles, was sie sagen, ist, dass wir die maximale Freiheit haben, die Grassmann-Nummer zuzulassen$x_1$zu sein, was immer wir wollen, unabhängig von der Nummer$x_2$Ist. So wie wir jede gewünschte reellwertige Funktion erstellen können, indem wir die reellwertigen Koeffizienten korrekt in beispielsweise einer Fourier-Summe auswählen, können wir jede gewünschte Grassmann-wertige Funktion erstellen, indem wir die Grassmann-wertigen Koeffizienten richtig auswählen ($\psi_i$) in der Summe, nach der Sie gefragt haben.