Ableitung des Schwinger-Wirkungsprinzips aus der Heisenberg-Gleichung und CCR - Warum funktioniert es mit Antipendeln-Variationen?

In dem Buch "Quantum Field Theory I" von Manoukian leitete er in Abschnitt 4.3 nach dem, was ich verstanden habe, das Quanten-Wirkungs-Prinzip von Schwinger nur unter Verwendung der einheitlichen Zeitentwicklung der Feldoperatoren ab. Zumindest vermute ich das so, denn zum Beweis hat er sich die Feldoperatoren angeschaut$\hat{\Phi}(x)$(die einer einheitlichen Zeitentwicklung gehorchen, die von erzeugt wird$\hat{H}$, und definierte ein Feld$\Pi$was Variationen von erzeugen soll$\hat{\Phi}(x)$und welche Zeitentwicklung soll die gleiche sein. Da die Variationen einfach c-Zahlen sind, die proportional zur Eins sind, leitet er dann das Variationsprinzip von Schwinger ab.

Kurz gesagt: Er behauptet, dass jede unendlich kleine Variation von Feldern$\Phi(\vec{x}) \rightarrow \Phi(\vec{x}) + \delta \Phi(\vec{x})$(Wo$\delta \Phi(\vec{x})$ist eine c-Zahl) kann mit einem Generator geschrieben werden

$$G(t) = \int d^3\vec{x} \delta \Phi(x) \Pi(\vec{x})$$ Mit $\Pi$der kanonische Impuls des Feldes ist. Es sei ausdrücklich darauf hingewiesen, dass der Beweis nur c-Zahl-Variationen verwendet (was ich übersetze mit " $\delta \Phi$ist eine gewöhnliche komplexe Zahl). Der Autor zeigt dann, dass Sie schreiben können $$\frac{d}{dt} G(t) = \int d^3\vec{x} \delta ( \dot{\hat{\Phi}} \hat{\Pi} - \mathscr{H}(\hat{\Phi}, \hat{\Pi}))$$ Und folgendes ist das Variationsprinzip: $$G(t_2) - G(t_1) = \delta \int d^3\vec{x} dt ( \dot{\hat{\Phi}} \hat{\Pi} - \mathscr{H}(\hat{\Phi}, \hat{\Pi}))$$ Genauer gesagt (Manoukian schreibt die Schritte nicht so auf, ich nehme einfach an, dass sie so sind, wobei der "Generator der vollständigen Variation" " $\delta \Phi \hat{\Pi} - \delta \Pi \hat{\Phi}$. Ich habe Operatoren mit einem Hut gekennzeichnet, um sie von numerischen Variationen zu trennen: $$\int d^3\vec{x} \delta ( \dot{\hat{\Phi}} \hat{\Pi} - \mathscr{H}(\hat{\Phi}, \hat{\Pi})) = \int d^3\vec{x} \dot{(\delta \Phi )} \hat{\Pi} + \hat{\dot{\Phi}} \delta \Pi - \frac{i}{\hbar}[\delta \Phi \hat{\Pi} - \delta \Pi \hat{\Phi}, \mathscr{H}] = \int d^3\vec{x} \dot{(\delta \Phi )} \hat{\Pi} + \hat{\dot{\Phi}} \delta \Pi + \delta \Phi \hat{\dot{\Pi}} - \delta \Pi \hat{\dot{\Phi}} = \int d^3\vec{x} \dot{(\delta \Phi )} \hat{\Pi} + \delta \Phi \hat{\dot{\Pi}} = \frac{d}{dt} \int d^3\vec{x} \delta \Phi \hat{\Pi}$$ Wo $\delta$ist eine gleichzeitige Variation der Felder UND der kanonischen Impulse. Dieser Beweis verwendet das $\delta \Phi$ist nur eine c-Nummer, da die 2. Gleichheit diese verwendet $\delta \Phi$Und $\delta \Pi$einfach aus dem Kommutator herausgezogen werden. Später spricht der Autor jedoch davon, Grasmann-Variablen auch als Feldvariationen zu verwenden, was zu Antikommutatoren anstelle von Kommutatoren für das Feld führt. Meine Frage hier wäre: Warum können wir auch Grasmann-Variablenvariationen verwenden, ohne die Ableitung hier zu brechen ?

Um es deutlicher zu machen: Warum würde

$$\mathscr{H}(\hat{\Phi}+ \delta \Phi, \hat{\Pi} + \delta \Pi) - \mathscr{H}(\hat{\Phi}, \hat{\Pi}) = \hat{\dot{\Phi}} \delta \Pi + \delta \Phi \hat{\dot{\Pi}}$$ halten, auch wenn die Variante nicht Pendeln, sondern Antipendeln ist?