Zwei-Punkte-Grün für freie Dirac-Felder

Question

Zwei-Punkte-Grün für freie Dirac-Felder

Physik
Fermionen
Wegintegral
Grasmann-Nummern
Quantenfeldtheorie
funktionale Ableitungen

Regenmann

Ich versuche die zu berechnen $2$ -Punkt Grüne Funktion $\tau_2(x,y)$ für freie Dirac-Felder. Die entsprechende Formel für $\tau_2(x,y)$ wird von gegeben

τ_{2} (X, j) = - \frac{δ^{2}}{δ η_{X} δ {\bar{η}}_{j}} Z_{0} [η_{w}, {\bar{η}}_{z}],

$\tau_2(x,y) = -\frac{\delta^2}{\delta\eta_x \delta \bar{\eta}_y} \, Z_0[\eta_w, \bar{\eta}_z],$

Wo $Z_0$ ist das erzeugende Funktional für freie Dirac-Felder gegeben durch

Z_{0} [η_{w}, {\bar{η}}_{z}] = \exp (- ich \int {\bar{η}}_{z} S (z - w) η_{w} D z D w) .

$Z_0[\eta_w, \bar{\eta}_z] = \exp\left(-i\int \bar{\eta}_z \, S(z-w) \, \eta_w \, dz \, dw\right).$

Hier, $\eta$ Und $\bar{\eta}$ sind Quellterme. Auch, $S^{-1} = i\gamma\cdot\partial - m$ ist der Operator, der im quadratischen Term des Lagrangians erscheint.

Notation $\eta_x \equiv \eta(x)$ usw.

Zunächst bestimme ich $\frac{\delta Z_0}{\delta\bar{\eta}_y}$ als

\begin{matrix} (1) & \frac{δ Z_{0}}{δ {\bar{η}}_{j}} = - ich Z_{0} \int S (j - w) η_{w} D w . \end{matrix}

$\frac{\delta Z_0}{\delta\bar{\eta}_y} = -iZ_0 \int S(y-w) \eta_w \, dw. \label{a}\tag{1}$

Dann versuche ich zu rechnen

\begin{aligned} - \frac{δ^{2} Z_{0}}{δ η_{X} δ {\bar{η}}_{j}} & = - \frac{δ}{δ η_{X}} [- ich Z_{0} \int S (j - w) η_{w} D w] \\ (2) & = ich \frac{δ}{δ η_{X}} [Z_{0} [η_{w}, {\bar{η}}_{z}] \int S (j - w) η_{w} D w] \end{aligned}

$\begin{align} -\frac{\delta^2 Z_0}{\delta\eta_x\delta\bar{\eta}_y} &= -\frac{\delta}{\delta\eta_x} \left[-iZ_0 \int S(y-w) \eta_w \, dw \right] \\ &= i\frac{\delta}{\delta\eta_x} \left[Z_0[\eta_w, \bar{\eta}_z] \int S(y-w) \eta_w \, dw \right] \label{b}\tag{2} \end{align}$

Frage

Wie Sie von diesem Schritt aus fortfahren (Gl. ( $\ref{b}$ ))? Ich muss die funktionale Ableitung des Produkts zweier Grassmann-Funktionale nehmen. Was ist die entsprechende Formel dafür? Wenn Sie auch eine Referenz erwähnen, wäre das großartig.
In Gl. ( $\ref{a}$ ) Ich habe geschrieben $Z_0$ vor dem funktional abgeleiteten Teil. Soll ich es nach dem Begriff der funktionalen Ableitung schreiben? Mit anderen Worten, wie lautet die Kettenregel für Grassmann-Funktionale?
Im Anhang habe ich die Formel erwähnt, um das funktionelle Derivat eines Produkts von Grassmann-Funktionalen zu bilden. Nehmen wir an, ich habe ein Produkt aus einigen Grassmann-Funktionalen und einer gewöhnlichen Funktion $f(x) \in \mathbb{C} \forall x$ . Wie wertet man dann dieses funktionale Derivat aus? Das ist,

\frac{δ}{δ ψ (X)} [ψ (j_{1}) F (j_{2}) ψ (j_{3})] = ?

$\frac{\delta}{\delta\psi(x)} [\psi(y_1) f(y_2) \psi(y_3)] = ?$ Wo

ψ

$\psi$ ist ein Grassmann-Feld.

Anhang

Die zur Berechnung der Gl. ( $\ref{a}$ ) ist unten angegeben.

\frac{δ}{δ ψ (X)} [ψ (j_{1}) \dots ψ (j_{N})] = δ (j_{1} - X) ψ (j_{2}) \dots ψ (j_{N}) + (- 1) δ (j_{2} - X) ψ (j_{1}) \dots ψ (j_{N}) + \dots \dots + (- 1)^{N - 1} δ (j_{N} - X) ψ (j_{1}) \dots ψ (j_{N - 1}) .

$\frac{\delta}{\delta\psi(x)} [\psi(y_1) \cdots \psi(y_n)] = \delta(y_1-x) \psi(y_2) \cdots \psi(y_n) + (-1) \delta(y_2-x) \psi(y_1) \cdots \psi(y_n) + \cdots \cdots + (-1)^{n-1} \delta(y_n-x) \psi(y_1) \cdots \psi(y_{n-1}).$

Prof. Legolasov

Die Antwort ist offensichtlich

S

$S$ . Bist du sicher, dass du das nicht überdenkst?

Antworten (2)

Zwei-Punkte-Grün für freie Dirac-Felder

Die Antwort ist offensichtlich $S$ . Bist du sicher, dass du das nicht überdenkst?

Kevin De Notariis · Answer 1

Zunächst einmal das Funktionsintegral $Z_0$ ist eine reelle Zahl, da sie als Vakuumerwartungswert definiert ist:

Z_{0} [ζ, \bar{ζ}] := ⟨ 0 | T e^{ich ⟨ {\bar{ζ}}_{X} ψ_{X} + {\bar{ψ}}_{X} ζ_{X} ⟩} | 0 ⟩

$Z_0[\zeta,\bar{\zeta}]:=\langle0|T\,e^{i\langle\bar{\zeta}_x\psi_x+\bar{\psi}_x\zeta_x\rangle}|0\rangle$ Wo

T

$T$ ist die Zeitordnungsoperation und:

⟨ {\bar{ζ}}_{X} ψ_{X} + {\bar{ψ}}_{X} ζ_{X} ⟩ := \int D^{4} X (\bar{ζ} (X) ψ (X) + \bar{ψ} (X) ζ (X))

$\langle\bar{\zeta}_x\psi_x+\bar{\psi}_x\zeta_x\rangle:=\int d^4x(\bar{\zeta}(x)\psi(x)+\bar{\psi}(x)\zeta(x))$ Nun, nach einigen analytischen Schritten, wird festgestellt, dass dieses Objekt die Symanzik-Gleichung erfüllen muss :

[(ich γ^{μ} \partial_{μ} - M) \frac{δ}{ich δ {\bar{ζ}}_{z}} - ζ_{z}] Z_{0} [ζ, \bar{ζ}] = 0

$\left[(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\frac{\delta}{i\delta\bar{\zeta}_z}-\zeta_z\right]Z_0[\zeta,\bar{\zeta}]=0$ Es zeigt sich, dass man eine Lösung leicht erhält, indem man (als Ansatz) setzt:

Z_{0} [ζ, \bar{ζ}] = e^{- \int D^{4} X \int D^{4} j (\bar{ζ} (X) S_{F} (X - j) ζ (j))} = e^{- ⟨ {\bar{ζ}}_{X} S_{X j}^{F} ζ_{j} ⟩}

$Z_0[\zeta,\bar{\zeta}]=e^{-\int d^4x\int d^4y\,(\bar{\zeta}(x)S_F(x-y)\zeta(y))}=e^{-\langle\bar{\zeta}_xS^F_{xy}\zeta_y\rangle}$ Aber im Allgemeinen kann eine Lösung für eine lineare Differentialgleichung mittels einer Fourier-Transformation gesucht werden. Auf diese Weise definieren wir die funktionale Fourier-Transformation von

Z_{0}

$Z_0$ als:

Z_{0} [ζ, \bar{ζ}] = \int D ψ \int D \bar{ψ} \tilde{Z} [ψ, \bar{ψ}] e^{ich \int D^{4} X (\bar{ζ} (X) ψ (X) + \bar{ψ} (X) ζ (X))} = \int D ψ \int D \bar{ψ} \tilde{Z} [ψ, \bar{ψ}] e^{ich ⟨ {\bar{ζ}}_{X} ψ_{X} + {\bar{ψ}}_{X} ζ_{X} ⟩}

$Z_0[\zeta,\bar{\zeta}]=\int\mathscr{D}\psi\int\mathscr{D}\bar{\psi}\,\tilde{Z}[\psi,\bar{\psi}]e^{i\int d^4x(\bar{\zeta}(x)\psi(x)+\bar{\psi}(x)\zeta(x))}=\int\mathscr{D}\psi\int\mathscr{D}\bar{\psi}\,\tilde{Z}[\psi,\bar{\psi}]e^{i\langle\bar{\zeta}_x\psi_x+\bar{\psi}_x\zeta_x\rangle}$ Indem wir diese funktionale Fourier-Transformation in die Symanzik-Gleichung einsetzen, können wir Folgendes identifizieren:

\tilde{Z} [ψ, \bar{ψ}] := N e^{ich \int D^{4} X \bar{ψ} (ich γ^{μ} \partial_{μ} - M) ψ} = N e^{ich S_{D} [ψ, \bar{ψ}]}

$\tilde{Z}[\psi,\bar{\psi}]:=\mathcal{N}e^{i\int d^4x\,\bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi}=\mathcal{N}e^{iS_D[\psi,\bar{\psi}]}$ Wo

N

$\mathcal{N}$ eine Konstante ist, und erhalten:

Z_{0} [ζ, \bar{ζ}] = N \int D ψ \int D \bar{ψ} e^{ich S_{D} + ich ⟨ {\bar{ζ}}_{X} ψ_{X} + {\bar{ψ}}_{X} ζ_{X} ⟩}

$Z_0[\zeta,\bar{\zeta}]=\mathcal{N}\int\mathscr{D}\psi\int\mathscr{D}\bar{\psi}\,e^{iS_D+i\langle\bar{\zeta}_x\psi_x+\bar{\psi}_x\zeta_x\rangle}$ Nun (in Analogie zum bosonischen Fall) kann die 2n-Punkt-Green-Funktion geschrieben werden als:

S_{0}^{(2 N)} (X_{1}, . . ., X_{N}; j_{1}, . . ., j_{N}) = ⟨ 0 | ψ (X_{1}) \dots ψ (X_{N}) \bar{ψ} (j_{1}) \dots \bar{ψ} (j_{N}) | 0 ⟩ = \frac{δ^{(2 N)} Z_{0} [ζ, \bar{ζ}]}{δ \bar{ζ} (X_{1}) \dots δ \bar{ζ} (X_{N}) δ ζ (j_{1}) \dots δ ζ (j_{N})} |_{ζ = 0, \bar{ζ} = 0}

$S^{(2n)}_0(x_1,...,x_n;y_1,...,y_n)=\langle 0|\psi(x_1)\cdots\psi(x_n)\bar{\psi}(y_1)\cdots\bar{\psi}(y_n)|0\rangle=\frac{\delta^{(2n)}Z_0[\zeta,\bar{\zeta}]}{\delta\bar{\zeta}(x_1)\cdots\delta\bar{\zeta}(x_n)\delta\zeta(y_1)\cdots\delta\zeta(y_n)}\bigg|_{\zeta=0,\bar{\zeta}=0}$ Und wenn wir die 2-Punkt-Green-Funktion auswerten wollen, werten wir zuerst aus:

\frac{δ Z_{0}}{δ ζ (X_{2})} = \frac{δ}{δ ζ (X_{2})} e^{- \int D^{4} X \int D^{4} j (\bar{ζ} (X) S_{F} (X - j) ζ (j)} = - \int D^{4} X (- 1) \bar{ζ} (X) S_{F} (X - X_{2}) \cdot Z_{0} [ζ, \bar{ζ}]

$\frac{\delta Z_0}{\delta\zeta(x_2)}=\frac{\delta}{\delta\zeta(x_2)}e^{-\int d^4x\int d^4y (\bar{\zeta}(x)S_F(x-y)\zeta(y)}=-\int d^4x\, (-1)\bar{\zeta}(x)S_F(x-x_2)\cdot Z_0[\zeta,\bar{\zeta}]$ bei dem die

(- 1)

$(-1)$ liegt daran, dass die Ableitung der Grassman-Funktion überspringen muss

\bar{ζ}

$\bar{\zeta}$ , was eine Grassman-bewertete Funktion ist. Dann:

\frac{δ}{δ \bar{ζ} (X_{1})} (\frac{δ Z_{0}}{δ ζ (X_{2})}) = \frac{δ}{δ \bar{ζ} (X_{1})} (\int D^{4} X \bar{ζ} (X) S_{F} (X - X_{2}) \cdot Z_{0} [ζ, \bar{ζ}]) = S_{F} (X_{1} - X_{2}) \cdot Z_{0} + (\int D^{4} X \bar{ζ} (X) S_{F} (X - X_{2}) \cdot (- 1) \int D^{4} j S_{F} (X_{1} - j) ζ (j) \cdot Z_{0})

$\frac{\delta}{\delta\bar{\zeta}(x_1)}\left(\frac{\delta Z_0}{\delta\zeta(x_2)}\right)=\frac{\delta}{\delta\bar{\zeta}(x_1)}\left(\int d^4x\, \bar{\zeta}(x)S_F(x-x_2)\cdot Z_0[\zeta,\bar{\zeta}]\right)=S_F(x_1-x_2)\cdot Z_0+\left(\int d^4x\, \bar{\zeta}(x)S_F(x-x_2)\cdot (-1)\int d^4 y\, S_F(x_1-y)\zeta(y)\cdot Z_0\right)$ Durch das Setzen

ζ = 0, \bar{ζ} = 0

$\zeta=0,\bar{\zeta}=0$ , Die

Z_{0}

$Z_0$ Ist

1

$1$ und der zweite Term geht gegen Null, wodurch man erhält:

S_{0}^{(2)} (X_{1}, X_{2}) = S_{F} (X_{1} - X_{2})

$S^{(2)}_0(x_1,x_2)=S_F(x_1-x_2)$

Das funktionale Integral ist eine reelle Zahl, es hat keinen Grassman-Wert, sodass Sie sich keine Gedanken über die Reihenfolge Ihrer Gleichung (2) machen müssen .

„Das funktionale Integral $Z_0[\zeta, \bar{\zeta}]$ ist eine reelle Zahl". NEIN, $Z_0$ ist KEINE reelle Zahl. Es ist stattdessen in Grassmann-Zahlen GERADE abgestuft $\zeta$ Und $\bar{\zeta}$ . Die n-Punkt-Green-Funktionen sind jedoch reell/komplex.
Spielt diese Unterscheidung in diesem nicht-supersymmetrischen Schema überhaupt eine Rolle? :)

Verrückter Max · Answer 2

Ich versuche, die 2-Punkt-Green-Funktion zu berechnen $\tau_2(x,y) = -\frac{\delta^2}{\delta\eta_x \delta \bar{\eta}_y} \, Z_0[\eta, \bar{\eta}]$

Die musst du nehmen $\eta=0$ / $\bar{\eta}=0$ Limit als letzten Schritt

τ_{2} (X, j) = - \frac{δ^{2}}{δ η_{X} δ {\bar{η}}_{j}} Z_{0} [η, \bar{η}] |_{η = 0, \bar{η} = 0} .

$\tau_2(x,y) = -\frac{\delta^2}{\delta\eta_x \delta \bar{\eta}_y} \, Z_0[\eta, \bar{\eta}] \bigg|_{\eta=0,\bar{\eta}=0}.$ Grüne Funktionen (im Gegensatz zum funktionalen Integral

Z_{0} [η, \bar{η}]

$Z_0[\eta, \bar{\eta}]$ ) sollte nicht explizit sein

η

$\eta$ /

\bar{η}

$\bar{\eta}$ abhängig.

Wie geht man von diesem Schritt (Gl. (2)) aus?

Der $\frac{\delta}{\delta\eta_x} \left[Z_0[\eta, \bar{\eta}] \right]$ Teil in Gl. (2) fällt nach Einnahme von aus $\eta=0$ / $\bar{\eta}=0$ Limit im letzten Schritt. Sie kümmern sich also nur um die $\frac{\delta}{\delta\eta_x} \left[\int S(y-w) \eta_w \, dw \right]$ Teil.

In Gl. (1) Ich habe geschrieben $Z_0$ vor dem funktional abgeleiteten Teil. Soll ich es nach dem Begriff der funktionalen Ableitung schreiben?

Der entscheidende Punkt ist das funktionale Integral $Z_0[\eta, \bar{\eta}]$ ist in Grassmann-Zahlen GERADE abgestuft $\eta$ / $\bar{\eta}$ . Die Reihenfolge von $Z_0$ in Gl. (1) spielt keine Rolle.

Wie wertet man dann dieses funktionale Derivat aus?

Behandeln Sie einfach die gewöhnliche Funktion $f(x)$ als konstante reelle/komplexe Zahl. Es stört das funktionelle Derivat nicht.

Zwei-Punkte-Grün für freie Dirac-Felder

Regenmann

Prof. Legolasov

Antworten (2)

Kevin De Notariis

Verrückter Max

Kevin De Notariis

Verrückter Max

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