Widerspruch zwischen Fermionischer und Grassmann-Algebra

Betrachten Sie den Zahlenoperator:

N ^ = C † C
Wo C † Und C sind fermionische Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Wenn wir jetzt rechnen N ^ 2 wir bekommen:
N ^ 2 = C † C C † C = C † ( 1 − C † C ) C = C † C = N ^ .
Bei der Zusammenarbeit mit Betreibern sehen wir das also N ^ 2 = N ^ .

Wenn wir andererseits einen Hamiltonoperator haben, der einen Term wie enthält N ^ 2 wir können den diesem Begriff entsprechenden Teil der Aktion schreiben als:

N 2 = ψ † ψ ψ † ψ = − ψ † ψ † ψ ψ = 0.
Gemäß der Pfadintegraldarstellung trägt dieser Term also nicht zur Dynamik des Systems bei. Während in den Operator-Wiederholungen. es verändert das chemische Potential.

Was also löst diesen scheinbaren Widerspruch zwischen diesen beiden Darstellungen?

PS: Oben haben die fermionischen Operatoren und Grasmann-Felder nur eine Komponente. Sie können im Zusammenhang mit der Physik der kondensierten Materie denken, wo ψ ist ein spinloses Fermion.

Kann es damit zusammenhängen, dass ψ ist keine einzelne Grassmann-Zahl, sondern ein Spinor mit mehreren Komponenten?
Ich habe die Frage bearbeitet, um einige Klarstellungen vorzunehmen. ψ ist kein 4-Komponenten-Dirac-Spinor oder 2-Komponenten-Weyl-Spinor. Es ist nur ein Feld, das die Antikommutierungsalgebra mit nur einer Komponente erfüllt.
Wenn dem so ist, dann nicht ψ † eine bessere Notation sein, da Teilchenphysiker normalerweise verwenden: ψ ¯ ≡ ψ † γ 0 ?
Tut mir leid, mein Hintergrund ist CMT. Ich werde die Notation bearbeiten.

Antworten (2)

Wenn man ausgehend von einem Hamilton-Operator ein Pfadintegral schreibt, muss man alle Operatoren in normaler Reihenfolge aufschreiben, da die Grassmann-Variablen kohärenten Zuständen der fermionischen Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren entsprechen

C ^ | ψ ⟩ = ψ | ψ ⟩ .

Somit spielt ein On-Site-Wechselwirkungsterm für spinlose Fermionen (bis auf eine chemische Potentialverschiebung) keine Rolle, sowohl für die Pfadintegral- als auch für die Operatorformulierung.

Es existiert jedoch eine Nächste-Nachbar-Wechselwirkung, da

N ^ ich N ^ J = C ^ ich † C ^ ich C ^ J † C ^ J = C ^ ich † C ^ J † C ^ J C ^ ich ,
wird Anlass geben
ψ ich † ψ J † ψ J ψ ich = ψ ich † ψ ich ψ J † ψ J .

Jetzt, da ich weiß, dass bei Matrizen oder Komponenten nichts verborgen ist, kann ich sagen, dass Sie den Antikommutator des fermionischen Feldes falsch machen. Der Antikommutator ist:

{ ψ ( X ) , ψ † ( j ) } = δ ( X − j ) .
Also, wenn wir es tun:
ψ † ( X ) ψ ( X ) ψ † ( j ) ψ ( j ) = ψ † ( X ) [ δ ( X − j ) − ψ † ( j ) ψ ( X ) ] ψ ( j ) = ψ † ( X ) ψ ( X ) δ ( X − j ) .
Der Ausdruck ist offensichtlich unendlich, wenn X = j , aber ich überlasse es dem Leser, die Konsequenzen daraus zu ziehen.

Widerspruch zwischen Fermionischer und Grassmann-Algebra
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v