Pfadintegral für komplexe Skalarfelder

Question

Pfadintegral für komplexe Skalarfelder

Physik
Feldtheorie
Wegintegral
komplexe Zahlen
Grasmann-Nummern
Quantenfeldtheorie

Marcosko

Ich besuche einen QFT-Kurs, der sich auf die Pfadintegralformulierung konzentriert. An einem bestimmten Punkt war ich verwirrt, weil wir gesehen haben, dass wir bei der Integration über komplexe Grassmann-Felder für Fermionen das komplexe Konjugat als definiert haben

\begin{matrix} (1) & (θ η)^{*} = η^{*} θ^{*} \end{matrix}

$(\theta\eta)^* = \eta^*\theta^*\tag{1}$ und dann gesagt, dass wir behandeln könnten

θ

$\theta$ Und

θ^{*}

$\theta^*$ als unabhängige Variablen, also integrieren wir über beide Variablen. Als ich den Dozenten danach fragte, sagte er, das liege daran, dass die komplexe Konjugation für Grassmann-Variablen nicht eindeutig definiert ist, was bedeutet, dass man sie nicht wirklich erhalten kann

θ^{*}

$\theta^*$ aus

θ

$\theta$ , also muss man über beide integrieren. Nehmen wir jedoch an, wir berechnen Pfadintegrale für ein komplexes Skalarfeld

ϕ

$\phi$ . Würden wir nur über integrieren

ϕ

$\phi$ oder beides

ϕ

$\phi$ Und

ϕ^{*}

$\phi^*$ ? Irgendwie habe ich beide Optionen in verschiedenen Referenzen gesehen (z. B. integrieren Peskin und Schroeder nur über

ϕ

$\phi$ in Abschnitt 9.6). In diesem Fall

ϕ

$\phi$ Und

ϕ^{*}

$\phi^*$ sind voneinander abhängig, also sollte man nur eine Integrationsmaßnahme haben, oder? Wie würden sich außerdem die Integrationsergebnisse wie Gaußsche Integrale ändern, wenn komplexe Felder betrachtet werden?

Antworten (2)

Pfadintegral für komplexe Skalarfelder

Löslicher Fisch · Answer 1

Betrachten wir der Einfachheit halber das komplexe Standardintegral (das Pfadintegral ist nur die Grenze des Produkts vieler Standardintegrale).

Eine auf der komplexen Ebene definierte Funktion $f(z)$ ist das gleiche als Funktion von zwei reellen Variablen $f(x,y)$ , Wo $x+iy =z$ . Daher ist das Integrieren über die komplexe Ebene dasselbe wie das Integrieren über zwei reelle Variablen. Formal könnten wir die Maßnahme schreiben $\text d^2 z= \text dx \text dy$ (mit dem $2$ Exponent, um sich daran zu erinnern, dass dies ein ist $2$ Dimensionsintegral).

Es ist jedoch oft nützlich, es zu nehmen $(z,\bar z)$ als Variablen. Zunächst ist vielleicht nicht klar, warum das funktioniert. Zur Differenzierung können wir definieren $\partial = \frac12(\partial_x - i \partial_y)$ Und $\bar{\partial} = \frac12(\partial_x + i \partial_y)$ . Dann überprüfen Sie, ob diese Differentialoperatoren die Leibniz-Regel erfüllen sowie:

\partial z = \bar{\partial} \bar{z} = 1 Und \partial \bar{z} = \bar{\partial} z = 0

$\partial z = \bar \partial \bar z = 1 \qquad \text{ and }\qquad \partial\bar z = \bar \partial z = 0$ Daher geschieht alles so, als ob

z

$z$ Und

\bar{z}

$\bar z$ wo unabhängige Variablen.

Bei der Integration geht es genauso weiter. Wir definieren $\text d z = \text d x + i \text dy$ Und $\text d\bar z = \text dx - i \text dy$ , und überprüfen Sie das bis zur Normalisierung:

D^{2} z = D X D j = D z D \bar{z}

$\text d^2 z = \text dx \text dy = \text d z \text d\bar z$ Auch hier können wir so tun, als ob die beiden Variablen unabhängig wären.

Schlussfolgerung Für ein komplexes Feld (bosonisch oder fermionisch) ist das Pfadintegral ein unendliches Produkt von $2$ dimensional komplexe Integrale. Ob wir schreiben:

D ϕ = \prod_{X} D^{2} ϕ (X)

$\mathcal D\phi = \prod_x \text d^2 \phi(x)$ oder

D ϕ D \bar{ϕ} = \prod_{X} D ϕ (X) \prod_{X} D \bar{ϕ} (X)

$\mathcal D\phi\mathcal D\bar \phi = \prod_x \text d \phi(x) \prod_x \text d\bar \phi(x)$ ist reine Konventionssache.

Vielen Dank. Also, wenn wir das Integral diskretisieren $\int d^2z \ f(z,\overline{z})$ , würden wir einfach über einen Satz von Variablen summieren $z$ , Rechts? Also für jeden Punkt im Integral $z_i$ , würden wir einfach ersetzen $f(z,\overline{z})\to f(z_{i},\overline{(z_{i})})$ .
Mit den Punkten $(z_i)$ Füllen der komplexen Ebene (oder des relevanten Bereichs), ja.
Verstanden. Ich glaube, ich war dann verwirrt über die Notation. Danke schön!

QMechaniker · Answer 2

So wie ein gerades Grassmann-Feld reell oder komplexwertig sein kann, kann ein ungerades Grassmann-Feld reell oder komplexwertig sein.
Bezüglich P&S Abschnitt 9.6 betrachten sie ein Grassmann-gerades komplexes Feld $\phi$ . Sie schreiben das Wegintegralmaß als ${\cal D}\phi$ , während andere Autoren das Wegintegralmaß stattdessen als schreiben würden ${\cal D}\phi^{\ast}{\cal D}\phi$ , aber sie meinen eigentlich dasselbe, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.
Ob das komplex konjugierte Feld als unabhängig behandelt werden soll, siehe zB diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.
In Bezug auf OPs Gl. (1) Beachten Sie, dass es in der Literatur verschiedene Vorzeichenkonventionen für die komplexe Konjugation eines Produkts ungerader Grassmann-Variablen gibt

vielen Dank für deine Antwort und die Links. Ich kann sehen, dass die beiden Felder in Bezug auf die Ableitung unabhängig sind, was für die klassischen Bewegungsgleichungen nützlich ist. Der integrale Teil ist das, was ich etwas schwieriger zu visualisieren habe, weil es so aussieht, als würden wir in einem Fall doppelt so viele Felder summieren wie im anderen.

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Marcosko

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