Konzept von Extremal in QFT

In der klassischen Feldtheorie die dynamischen Feldvariablen auf der Schale Q ¯ Geben Sie einen Mindestwert der Aktion an:

A = ∫ D T   L ( Q ¯ ( T ) , Q ¯ ˙ ( T ) ) .

In diesem Fall ist die Aktion tatsächlich eine reelle Zahl , daher ist es sinnvoll, dass sie einen Extremwert hat .

Was bedeutet "extrem" in der kanonischen Quantenfeldtheorie, wo die Aktion,

A = ∫ D 4 X   L ( ϕ ¯ ( X ) , ∂ μ ϕ ¯ ( X ) )
ist stattdessen ein Operator?

In QFT gibt es keine "Aktion als Operator", daher ist Ihre Frage sinnlos.
Die Felder sind Operatoren, richtig? Ein Integral einer Funktion dieser Felder sollte also ein Operator sein.
Nein, der Lagrange bezieht sich auf klassische Felder. Bei der QFT (im kanonischen Quantisierungsrahmen) betrachtet man zunächst einen Lagrange-Operator klassischer Felder, geht dann zum Hamilton-Rahmen über und quantisiert erst dann die Felder.
Wollen Sie damit sagen, dass die im KG-Lagrangian verwendeten Felder keine Operatoren sind? Ich habe gerade einige Bücher gelesen, die zu besagen scheinen, dass das Skalarfeld \phi(x) eigentlich die Summe von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ist, die Teilchen bei x erzeugen und vernichten. Hast du irgendwelche Quellen?
Ok, also in der Pfad-Integral-Formulierung sind die Felder (Super-)Zahlen, während die Felder im kanonischen Quantisierungsmechanismus Operatoren sind. Ist das korrekt?

Antworten (1)

  1. Die Wirkung in der Quantenfeldtheorie formal 1 tritt über das Schwinger-Aktionsprinzip in den Operatorformalismus ein . Allerdings nicht als echtes Variationsproblem per se. Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

  2. Im Gegensatz zum Operatorformalismus spielen die Wirkung (und ihre Extremale) eine zentrale Rolle in der Pfadintegralformulierung , insbesondere im semiklassischen Limes. Im Pfad-Integral-Formalismus sind die Felder (und damit die Aktion) zahlwertig (und nicht operatorwertig), vgl. dieser Phys.SE-Beitrag. Es gilt also die übliche Variationsrechnung.

  3. Allgemeiner gesagt ist es interessant, darüber nachzudenken, was ein Operator-bewertetes Variationsproblem sein sollte? Wie sollen wir Operatoren ordnen, und was ist ein Extremaloperator? Diese Fragen sind Teil der breiten mathematischen Themen der Operatortheorie , Funktionsanalyse , konvexen Analyse und Optimierungstheorie .

  4. In der Physik besteht die Aufgabe der Optimierung von Operatoren normalerweise darin, eine Norm oder eine Spur am Ende zu nehmen, um ein reellwertiges (und nicht ein operatorwertiges) Funktional zu bilden. Dies ist zB typischerweise bei Matrixmodellen der Fall , dh wir sind wieder bei dem Fall, wo die übliche Variationsrechnung gilt.

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1 Formal bis hin zu möglichen Operator-Ordnungsproblemen im Zusammenhang mit der Umwandlung der Aktion in einen Operator.

Das ist seltsam, wir haben die Aktion verwendet, um die konservierten Noether-Ladungen für einige Lagrangianer abzuleiten, während wir das kanonische Verfahren lernten. War das nur im Sinne der Einführung, das heißt, Sie wollen sagen, dass sich die Leute bei tatsächlichen Berechnungen in der kanonischen Störungstheorie nicht um die Aktion kümmern?
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