Elektronen-Neutrino-Streuung effektive Lagrange-Funktion

Probieren wir es aus.$SU(2)$Sektor des Standardmodells Lagrange ist ziemlich kompliziert, also werden wir uns etwas Einfacheres ansehen. Neutron-Proton-Wechselwirkung kommt mir in den Sinn. Bei niedriger Energiegrenze wird es durch ein massives Skalarteilchen – ein Pion – vermittelt. Wir werden diesbezüglich sehr qualitativ sein, in Wirklichkeit gibt es viele Details.

Lagrange sieht in etwa so aus:

$$\mathcal{L} = \frac12 \partial^\mu \pi \partial_\mu \pi - \frac12 m_\pi^2 \pi^2 - g \overline{\psi}\pi{\psi}+ \mathcal{L}_{Dirac}$$

Grundsätzlich versuchen Sie Folgendes zu tun:

$$\mathcal{Z}_{eff} = \langle \mathcal{Z} \rangle_\pi$$

dh einen Ausdruck für die Zustandssumme erzeugen, der in der unteren Energiegrenze genauso aussehen würde wie der fundamentale. Sie sollten sich daran erinnern, dass die Partitionsfunktion einen Exponenten der Aktion enthält, der im Grunde die Aufgabe erfüllt, alle Lagrange-Operatoren in kompliziertere zu kleben. Wenn Sie diesen Exponenten erweitern, erhalten Sie am Ende eine unendliche Reihe aller möglichen Wechselwirkungen der explizit geschriebenen Theorie. Wir werden das nicht tun, aber wir werden uns vorstellen.

Unter ihnen werden die Betreiber sein, nach denen wir suchen:

$$\hat{\mathcal{O}}_1 =\overline{\psi}(x) g \pi(x) \psi(x)$$ $$\hat{\mathcal{O}}_2 =\overline{\psi}(x) g \pi(x) \psi(x) \cdot \overline{\psi}(x') g \pi(x') \psi(x')$$

Da wir über das Skalarteilchen mitteln werden, weisen wir seinem Feld eine Null-Vakuum-Erwartung zu, so dass es selbst keinen Beitrag leistet:

$$\langle \hat{\mathcal{O}}_1 \rangle_\pi = \overline{\psi}(x) g \langle\pi(x)\rangle \psi(x) \approx 0$$

was bedeutet, dass diese Partikel nicht produziert werden. Dann,

$$\langle \hat{\mathcal{O}}_2 \rangle_\pi = g^2 \overline{\psi}(x) \psi(x) \cdot \langle \pi(x) \pi(x') \rangle \cdot \overline{\psi}(x') \psi(x')$$

Hier haben wir einen bekannten Durchschnitt – den Propagator. Der Einfachheit halber gehen wir von nun an in den Fourier-Raum. Hier ist seine Fourier-Transformation:

$$\tilde{S}_\pi (p) = \frac{1}{p^2 -m_\pi^2}$$

Da die Energieskala zu klein ist, um ein echtes Teilchen zu erzeugen, nehmen wir den Beitrag niedrigster Ordnung von diesem Operator, der sein wird

$$\tilde{S}_\pi \approx -\frac{1}{m_\pi^2}$$

Und unser Betreiber wird

$$\langle \hat{\mathcal{O}}_2 \rangle_\pi = -\frac{g^2}{m_\pi^2} \overline{\psi} \psi \overline{\psi} \psi$$

Als nächstes werden alle Mittelwerte höherer Ordnung ausgewertet$\pi$und Neuordnung der Reihe können wir im Prinzip einen neuen Exponenten mit einer effektiven Aktion sammeln.