Euler-Lagrange-Gleichung für kontinuierliche Systeme

Kommentar zur Frage (v6): Für die Feldtheorie in 1+1-Dimensionen die Lagrange-Dichte

$$\tag{1} {\cal L}\left(\phi(x,t), \partial_t\phi(x,t),\partial_x\phi(x,t), x,t\right)$$ hängt von 5 Argumenten ab

$$\tag{2} \phi(x,t),~ \partial_t\phi(x,t),~\partial_x\phi(x,t),~ x,~t,$$

wenn wir Theorien mit höheren Ableitungen ausschließen.

Hervorzuheben ist, dass die äußeren Ableitungen in den entsprechenden Euler-Lagrange-Gleichungen

$$\tag{3} \frac{d}{d t}\frac{\partial {\cal L}}{\partial(\partial_t \phi)} +\frac{d}{d x}\frac{\partial {\cal L}}{\partial(\partial_x \phi)} ~=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial \phi}$$

beinhalten die gesamten Ableitungen

$$\tag{4}\frac{d}{d t}~=~\frac{\partial}{\partial t}+ \partial_t\phi~\frac{\partial}{\partial \phi}+\partial^2_t \phi~\frac{\partial}{\partial(\partial_t \phi)}+\partial_t\partial_x \phi~\frac{\partial}{\partial(\partial_x \phi)}$$

Und

$$\tag{5}\frac{d}{d x}~=~\frac{\partial}{\partial x}+ \partial_x\phi~\frac{\partial}{\partial \phi}+\partial^2_x \phi~\frac{\partial}{\partial(\partial_x \phi)}+\partial_x\partial_t \phi~\frac{\partial}{\partial(\partial_t \phi)}$$

eher als die partiellen/expliziten Ableitungen

$$\tag{6} \frac{\partial}{\partial t} \quad\text{and}\quad \frac{\partial}{\partial x} .$$

Dies folgt aus der Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen über das stationäre Wirkungsprinzip , vgl. zB Art.-Nr. 1.

Abschließend sei noch erwähnt, dass viele Autoren die äußeren Ableitungen in Euler-Lagrange-Gleichungen (3) verwirrenderweise als partielle Ableitungen (6) setzen. Diese Notation ändert nichts daran, dass sie als totale Ableitungen zu verstehen sind.

Verweise:

1. Herbert Goldstein, Klassische Mechanik; letztes Kapitel.

Ich gehe davon aus, dass Sie hier eher eine operative als eine konzeptionelle Frage stellen. Bedenke, dass$\phi$kommt drauf an$x$Und$t$, dh$\phi = \phi(x,t)$, und das mit zwei Variablen$t$Und$x = x(t)$:

$D_t = \partial_t + \partial_x \dot{x}$

Dann kannst du die erweitern$\dot{\phi}^2(x,t)$Begriff hinein

$\dot{\phi}^2(x,t) = (\partial_t \phi)^2 + 2 (\partial_t \phi) (\partial_x \phi) \dot{x} + (\partial_x \phi)^2 \dot{x}^2$

Nun zurück zur Lagrange-Dichte$\mathcal{L} = \frac{1}{2} [\mu \dot{\phi}^2(x,t) - Y\partial_x \phi(x,t)]$. Denken Sie daran, dass die partiellen Ableitungen mit der expliziten Abhängigkeit der betreffenden Variablen arbeiten. Lassen Sie mich als Beispiel den ersten Term der EL-Gleichung hier ausführen:

$\begin{align*} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_t \phi)} &= \frac{1}{2} \mu \frac{\partial}{\partial (\partial_t \phi)} [(\partial_t \phi)^2 + 2 (\partial_t \phi) (\partial_x \phi) \dot{x} + (\partial_x \phi)^2\dot{x}^2] + \frac{1}{2} Y \frac{\partial}{\partial (\partial_t \phi)} (\partial_x \phi)^2\\ &=\frac{1}{2} \mu [\frac{\partial}{\partial (\partial_t \phi)} (\partial_t \phi)^2 + 2\frac{\partial}{\partial (\partial_t \phi)} (\partial_t \phi) (\partial_x \phi) \dot{x} + \frac{\partial}{\partial (\partial_t \phi)} (\partial_x \phi)^2 \dot{x}^2] + 0 \\ &=\frac{1}{2} \mu [2 (\partial_t \phi) + 2(\partial_x \phi) \dot{x} + 0]\\ &=\mu [(\partial_t \phi) + (\partial_x \phi) \dot{x}] \end{align*}$

Bisher geht es hier darum, dass Sie behandeln sollten$\partial_t \phi$um eine explizite Variable zu sein, und wenden Sie partielle Ableitungen an, wie Sie es normalerweise möchten$x$oder$t$. Der Begriff$\frac{1}{2} Y \frac{\partial}{\partial (\partial_t \phi)} (\partial_x \phi)^2$in der ersten Zeile wird beispielsweise mit Null bewertet, da keine Abhängigkeit von besteht$\partial_t \phi$.

Sie können an dieser Stelle anhalten und mit der Bewertung der Ableitung fortfahren$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_x \phi)}$zuerst, und Sie sollten so etwas wie ergeben$\mu [(\partial_t \phi) \dot{x} + (\partial_x \phi) \dot{x}^2] - Y \partial_x \phi$. Und da hängt die Lagrangedichte nicht davon ab$\phi$,$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = 0$. (Versuchen Sie, sie selbst zu berechnen! Ich kann mich hier irren: p)

Wenn Sie das kombinieren, was Sie haben, sollten Sie in der Lage sein, die EL-Gleichung wie folgt zu erhalten:

$\partial_t \mu [\partial_t \phi + (\partial_x \phi) \dot{x}] + \partial_x \mu [\partial_t \phi + (\partial_x \phi) \dot{x}] \dot{x} - Y \partial_{xx} \phi = 0$

Der dritte Term ist offensichtlich die rechte Seite der Gleichung, die Sie beweisen müssen. Was vielleicht chaotisch ist, sind die ersten beiden Terme, aber Sie sollten sich auf die erste Gleichung beziehen, die wir zuvor besprochen haben, dh$D_t = \partial_t + \partial_x \dot{x}$; Damit ist es ziemlich einfach, das zu zeigen

$\mu[\partial_t \dot{\phi} + (\partial_x \dot{\phi}) \dot{x}] = Y \partial_{xx} \phi$

Machen Sie die Vereinfachung noch einmal und Sie erhalten die Gleichung, die Sie beweisen müssen :)

Bei der Feldtheorie arbeiten wir mit einer Lagrange-Dichte anstelle einer Lagrange-Dichte:

$$S=\int dt L,\hspace{.5cm} L=\int d^3x \mathcal{L}\longrightarrow S=\int d^4x \mathcal{L}$$ Die entsprechenden Euler-Lagrange-Gleichungen lassen sich auf einfache Weise genau analog zur Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen zB in der klassischen Mechanik herleiten. Das Ergebnis ist: $$\partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial (\partial_\mu \phi)}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}$$ wo ich definiert habe $$\partial_\mu=\frac{\partial}{\partial x^\mu},\hspace{1cm}x^\mu=(t,x,y,z)$$ und verwendete die Einstein-Summierungskonvention . Der Punkt ist, dass die $L$'s in Ihrer zweiten Gleichung sein sollte $\mathcal{L}$'S.

Sie haben also die Langrangsche Dichte angegeben mit:

$$\mathcal{ L}={1\over{2}}\left(\mu\dot{\phi}^2-Y(\partial_x\phi)^2\right),$$

Die Euler-Lagrange-Gleichung lautet:

$${\partial\over \partial t}\left({\partial \mathcal{L}\over{\partial\dot{\phi}}}\right)+{\partial\over \partial x}\left({\partial \mathcal{L}\over{\partial(\partial_x \phi)}}\right)={\partial \mathcal{L}\over{\partial \phi}}$$

Also für Ihre erste Gleichung$\partial \mathcal{L}\over{\partial\dot{\phi}}$=$2$X$1\over2$X$\mu\dot\phi$

Dann fahren Sie fort, die Zeitableitung davon zu nehmen, die ist$\mu\ddot\phi$.

Sie folgen den gleichen Schritten, um zu erhalten${\partial\over \partial x}\left({\partial \mathcal{L}\over{\partial(\partial_x \phi)}}\right)$

bemerken, dass${\partial \mathcal{L}\over{\partial \phi}} = 0$wie es keine gibt$\phi$Abhängigkeit in Ihrer Lagrange-Dichte.

Denken Sie auch daran$\partial_x\phi$bedeutet$\partial\phi\over \partial x$. Hoffentlich ist es Ihnen jetzt klarer, wie die Bewegungsgleichungen erhalten werden.

Herausgefunden ... Es sollte offensichtlich sein, dass die Funktion$\phi$ist analog zur Koordinate x für die stetige Verteilung. Und$\dot{\phi}$Es sollte auch offensichtlich sein, dass dies ein nicht-relativistisches System ist. Aber ... eine Sache, die man im Hinterkopf behalten sollte, ist, dass, wenn die Zeit als Koordinate behandelt würde, eine zusätzliche Gleichung und eine zusätzliche Funktion zu berücksichtigen wären$\psi$was analog zu t wäre. Seine zeitliche Ableitung im nichtrelativistischen Limes ist analog zu 1. Ich werde zeigen, warum das bei der Lösung hilfreich ist.

Beginnen Sie mit der Auswertung des Plugging-Ergebnisses$\dot\phi^2$in LHS von EL in gegebener Form.

1)${\partial\over\partial x}{\partial (\dot\phi\dot\phi)\over{\partial(\partial_x\phi)}}\rightarrow2{\partial\over\partial x}\dot\phi{\partial (\dot\phi\partial_x\phi+"1"\partial_t\phi)\over{\partial(\partial_x\phi)}}$Wo$\dot\phi="v"\cdot\nabla\phi$verwendet wurde und$"v"\leftrightarrow (\dot{\psi},\dot{phi})$als$\dot{\psi}\rightarrow 1$im nichtrelativistischen Grenzfall.

so gibt der erste teil$2{\partial_x\dot{\phi}}\dot{\phi}$

2) Wir führen eine analoge Analyse für die durch$"\partial_t"$Teil, der gibt$2\partial_t\dot{\psi}\dot{phi}$

3) Summe Teile 1 und 2 zu bekommen$2(\partial_t\dot{\psi}\dot{\phi}+{\partial_x\dot{\phi}}\dot{\phi})$welche nehmen die$\partial_t$Und$\partial_x$Betreiber zu pendeln$\dot\psi$Und$\dot{\phi}$jeweils ist das gleiche wie$2"v"\cdot\nabla \phi\rightarrow 2\ddot{\phi}$

4) Aus diesen Überlegungen geht hervor, dass das Verstopfen der${1\over{2}}\mu\dot\phi^2$Teil der Dichte$\mathcal{L}$in die LHS der EL-Gleichung liefert den Term$\mu\ddot{\phi}$der endgültigen Bewegungsgleichung.