Anwendung von Euler-Lagrange-Gleichungen (Triviales Problem, lehrreich)

Ich habe einige Zweifel an einem wirklich trivialen und einfachen Problem, bei dem ich ELE verwenden muss.

Angenommen, ich habe ein Pendel, bei dem das Seil eine Feder ist, sodass sich seine Länge mit der Zeit ändern kann. Ich habe eine Masse M und die Federruhelänge ist$\ell$. Ich muss die Lagrange-Funktion des Systems und die Bewegungsgleichungen finden.

Dann fange ich an zu suchen$\mathcal{L} = T - V$

$$T = \frac{1}{2}m v^2$$

und zu finden$v$, sich daran zu erinnern$v^2 = \dot{x}^2 + \dot{y}^2$Ich führe einfach einen Koordinatenwechsel mit durch

$$x = \ell\cos\theta$$ $$y = \ell\sin\theta$$

und ich werde bekommen

$$v^2 = \dot{\ell}^2 + \ell^2\dot{\theta}^2$$

was dazu führt, dass ich die kinetische Energie habe

$$T = \frac{1}{2}m\left(\dot{\ell}^2 + \ell^2\dot{\theta}^2\right)$$

Hoffe es geht bis hierher

Dann Das erste Problem: das Potenzial$V$. Ich weiß, dass ich das für ein Pendel verwenden kann$V = mg\ell\cos\theta$aber wenn man bedenkt, dass das Seil eine Feder ist, sollte ich diesem Begriff die elastische Rückholkraft hinzufügen$kx = k\ell\cos\theta$?

Dies würde bedeuten

$$V = (mg - k)\ell\cos\theta$$

aber jetzt taucht ein problem auf:$(mg - k)$kann nicht berechnet werden, da Abmessungen von$mg$ist nicht dasselbe von$k$also wo liege ich falsch?

BEARBEITEN NACH DER ERSTEN ANTWORT - DAS VERSTANDEN Ich habe eine Macht eingesetzt, während ich natürlich das Potenzial nutzen musste$\frac{1}{2}kx^2$

Das Potenzial wird dann

$$V = mg\ell\cos\theta - \frac{1}{2}k\ell^2\cos^2\theta$$

Auch weiterhin

Nachdem ich herausgefunden habe, was$V$ist, verstehe ich$\mathcal{L} = T - V$also bin ich bereit für ELE:

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_i} = 0$$

Ich weiß, dass wir eine Einstein-Konvention über die haben$i$-index, hier ergibt sich also ein weiteres Problem: meine verallgemeinerten Koordinaten werden sein$q_1 = \ell$Und$q_2 = \theta$.

Wie werden Euler-Lagrange-Gleichungen geschrieben? Habe ich zwei gekoppelte Gleichungen oder eine einzige chaotische Gleichung?

ELE

Also kam ich auf diese Euler-Lagrange-Gleichungen. Unter Berücksichtigung des Kommentars unten weiß ich nicht wirklich, ob es gut ist, es zu benennen$\ell = l - l_0$. Jedenfalls sollten das die Gleichungen sein. Sind sie korrekt?

$$m\ell^2\dot{\theta} = \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\left[mg - \frac{k}{2}\ell\right]\ell\sin\theta\right) = 0$$

$$m\dot{\ell} = \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(m\ell\dot{\theta}^2 - mg\cos\theta + k\ell\cos\theta\right)$$