Bestimmung der Lagrangefunktion eines Federpendels

$\newcommand{\er}{\hat e_r} \newcommand{\et}{\hat e_\tau} \newcommand{\d}{\dot} \newcommand{\m}{\frac{1}{2}m}$In radialen Koordinaten,$\d\er=\d\theta \et$, und (hier nutzlos)$\d\et= -\d r \er$.$\er,\et$sind Einheitsvektoren in radialer bzw. tangentialer Richtung. Aufgrund dieser Vermischung von Einheitsvektoren (sie bewegen sich zusammen mit dem Teilchen) werden die Dinge etwas komplizierter als beim einfachen kartesischen System, bei dem die Einheitsvektoren konstant sind.

Für Ihr Teilchen schreiben$x+l\to r$, der Positionsvektor ist:

Ersetzen Sie den Wert von zurück$r=x+l,\d r=\d x$(und multipliziert mit$\m$, erhalten wir den obigen Ausdruck?

Wie Sie in meinem Ausdruck für sehen können$\vec v$, hatte ich zwei Geschwindigkeitskomponenten – radial und tangential. Da sie senkrecht sind, kann ich einfach quadrieren und hinzufügen, ähnlich$T=\m\left(\d x^2 +\d y^2\right)$.

Der Punkt ist, es kann ein Skalar sein, aber es enthält einen Vektor in seinem Ausdruck:

Die gesamte kinetische Energie ist die Summe der Teile. Dazu ist kinetische Energie in radialer Richtung vorhanden$1/2 m \dot{x}^2$und in der$\hat{\theta}$Richtung. Die Überlagerung dieser beiden Energien bildet die Summe. Das müssen wir berücksichtigen, wenn wir die gesamte kinetische Energie aufschreiben. Der erste Term in der Klammer ist das Quadrat der Radialgeschwindigkeit und der zweite Term ist die Version von$r^2 \dot{\theta}^2$(Die Definition der Winkelgeschwindigkeit im Quadrat) in Bezug auf dieses spezielle Problem. Hier ist ein wenig mehr über Radial- und Winkelgeschwindigkeit. Hoffe das hilft.

Die kinetische Energie muss sein$\frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2)$Wo$v_x$Und$v_y$sind die Geschwindigkeit in der jeweiligen Richtung.$x$ist eingestellt$(l+x)*\sin \theta$Und$y$ist eingestellt$(l+x)*\cos\theta$Nehmen Sie die zeitliche Ableitung von beiden und quadrieren Sie sie dann. Nachdem du das getan hast, erkenne das$\cos^2 + \sin^2 = 1$also die notwendige Faktorisierung, um die Identität zu verwenden. Dann heben sich die mittleren Terme mit dem Koeffizienten 2 auf. Schließlich ist die übrig gebliebene Beziehung die kinetische Energiegleichung, die im Buch steht.

Betrachten Sie es nicht als Komponenten von KE: Stellen Sie sich eher vor, dass das gesamte KE des Körpers die Summe aus seinem Winkel-KE und seinem linearen KE ist (was in diesem Fall zufällig in radialer Richtung liegt) ... Hoffnung das hilft..