Lagrange-Gleichung der Klein-Gordon-Gleichung

Betrachten Sie die folgende Lagrange-Dichte

L ( Φ , ∂ μ Φ ) = − 1 2 ∂ μ Φ ∂ μ Φ − M Φ 2 2 .

Ich möchte die Bewegungsgleichung mit der Euler-Lagrange-Gleichung berechnen, um die Klein-Gordon-Gleichung abzuleiten. Die EL-Gleichung besagt

∂ L ∂ Φ − ∂ μ ∂ L ∂ ( ∂ μ Φ ) = 0
Also habe ich gerechnet ∂ L ∂ Φ = − M 2 Φ , und für den anderen Begriff
∂ μ ∂ L ∂ ( ∂ μ Φ ) = − 1 2 ∂ μ ( ∂ ∂ ( ∂ μ Φ ) ) ( ∂ v Φ G v a ∂ a Φ ) ⏟ Neuer kostenloser Index,  v = − 1 2 ∂ μ G v a ( δ v μ ∂ a Φ + δ a μ ∂ v Φ = − 1 2 ∂ μ ( ∂ μ Φ + ∂ μ Φ ) = − ∂ μ ∂ μ Φ .

Meine Frage ist, ob es richtig ist, dass ich den kostenlosen Index einführen muss v , oder gibt es einfachere Möglichkeiten, dies zu tun?

Es sieht in Ordnung aus. Können Sie das Vorzeichen des kinetischen Terms bestätigen? Welche Metrik verwenden Sie?
In Ihrer letzten Gleichung folgt der letzte Ausdruck unmittelbar aus dem ersten.
Wahrscheinlich etwas unkonventionell, aber unser Professor verwendet G = diag ( − , + , + , + )
@my2cts was meinst du?
Ich meine, dass Sie den metrischen Tensor nicht verwenden müssen.
Das war genau meine Frage, wie kann ich darauf verzichten?

Antworten (1)

Meine Frage ist, ob es richtig ist, dass ich den kostenlosen Index einführen muss v , oder gibt es einfachere Möglichkeiten, dies zu tun?

Sie haben keinen kostenlosen Index eingeführt v wie es mit einem anderen Vertrag abgeschlossen ist. Ein freier Index bedeutet, dass der Index nicht summiert wird. Sie haben a eingeführt D u M M j Index zu summieren.

Die Antwort auf Ihre Frage lautet jedoch nein, es gibt keinen einfacheren Weg, dies zu tun. In der Quantenfeldtheorie ist das so einfach wie es nur geht. Der Weg zum Beweis der Ableitung von ( ∂ Φ ) 2 ist, genau das zu tun, was Sie getan haben, indem Sie die Definition verwendet haben ∂ μ Φ ∂ v Φ G μ v und dann die Produktregel verwenden.

Die resultierende Klein-Gordon-Gleichung sollte nicht davon abhängen, welche Konvention Sie für die Metrik verwenden, da Sie einfach mit einem Minuszeichen multiplizieren können, um die relativen Minuszeichen korrekt zu erhalten.

Das Obige kann Ihnen jedoch den Eindruck vermitteln, dass Bewegungsgleichungen in verschiedenen Metriken nicht unterschiedlich "aussehen". Aber das wäre falsch. Maxwells Gleichungen sind ein gutes Beispiel dafür.

∂ μ F μ v = J v ( + − − − )

Und

∂ μ F μ v = − J v ( − + + + ) .

Die Gleichungen sehen anders aus, sind es aber nicht. Tatsächlich stammt das "zusätzliche" Minuszeichen in der letzteren Gleichung von der Tatsache, dass A μ = ( − Φ , A ) im ( − + + + ) Konvention. Die Gleichungen sind also identisch. Ich denke, dass diese Antwort von Nutzen sein kann.

Lagrange-Gleichung der Klein-Gordon-Gleichung
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