Pfadintegral in der Euklidischen Feldtheorie

Ich bin sehr unerfahren in QFT, aber ich lese Salmhofers Buch über Renormierung und ganz am Anfang des Buches diskutiert er die Feynamn-Pfad-Integralformulierung in der Quantenmechanik, um die Verwendung funktionaler Integrale zu motivieren. In QM ist Feynmans Pfadintegral eine Möglichkeit, den Kernel zu charakterisieren K ( T ; X , j ) des Propagatorbetreibers U ( T ) = e ich T ℏ H ^ . Dieser Kern wird als Übergangsamplitude eines Teilchens interpretiert, um von einem Punkt aus zu gehen X bei T 0 = 0 bis zu einem Punkt j zum Zeitpunkt T > 0 . Feynmans Pfadintegral, wie ich es hier beschreibe, ist mathematisch nicht genau definiert; jedoch, wenn man nimmt T → ich T dann ist das assoziierte Pfadintegral in Bezug auf Wiener-Maße wohldefiniert. Daher ist es manchmal vorzuziehen, an euklidischen Räumen zu arbeiten.

Nun sagt Salmhofer:

„In der Quantenfeldtheorie hat man es nicht mit einem einzelnen Teilchen zu tun, sondern mit unendlich vielen Teilchen, weil man die Entstehung und Vernichtung von Teilchen berücksichtigen muss. Formal kann man einen Hamiltonoperator aufschreiben, aber es wird sehr schwierig, einen anzugeben mathematische Definition davon. Wir werden die Theorie einfach durch das funktionale Integral definieren.“

Ich möchte diesen letzten Satz in Fettschrift verstehen. In der gewöhnlichen QM ist die Aktion (z. B. für ein freies Teilchen) gegeben durch:

S ( T , ϕ ) = ∫ 0 T [ 1 2 M | ϕ ' ( S ) | 2 − v ( ϕ ( S ) ) ] D S
Ich gehe also davon aus, dass die Aktion für das Feld in Bezug auf etwas Wesentliches ist X eines Feldes ϕ = ϕ ( X ) , Wo X ∈ R D . Was aber nicht klar ist:

(1) Was bedeutet es für ein funktionales Integral, die Theorie zu definieren und

(2) Was ist die neue Interpretation des funktionalen Integrals? Ist es auch eine Übergangsamplitude, aber jetzt für Halbbilder?

Ich denke, was sie bedeuten, ist: Sie können sich einer Quantenfeldtheorie über einen kanonischen Quantisierungsansatz durch den Hamiltonian oder einen Pfadintegralansatz durch die Aktion nähern. Anstatt mit der kanonischen Quantisierung zu beginnen und dann das Pfadintegral zu definieren und zu demonstrieren, dass diese Formulierung der kanonischen Quantisierung entspricht, werden sie mit dem Pfadintegralansatz beginnen und, was noch wichtiger ist, das Pfadintegral verwenden, um die Quantenfeldtheorie selbst zu definieren. Daher vermeiden sie es, sich mit der fehlenden mathematischen Grundlage einer Quantenfeldtheorie und eines Pfadintegrals zu befassen.
Ich denke, es ist wichtig zu beachten, dass in den meisten Quantenfeldtheorien ein Pfadintegral nicht einmal ein mathematisch gut definiertes Objekt ist. Tatsächlich ist es nicht einmal ein Integral. Die Autoren sagen also im Grunde: "Wir kümmern uns nicht um dieses mathematische Zeug, wir definieren einfach die gesamte Quantenfeldtheorie, wie sie durch dieses Objekt gegeben ist, das wir ein Pfadintegral nennen", und dann gehen sie einfach von dort aus.
Könnten Sie "nicht einmal ein Integral" erläutern und einige Referenzen angeben, in denen dies diskutiert wird?

Antworten (1)

Um etwas Intuition zu entwickeln, empfehle ich, die ersten Kapitel von A. Zee „Quantenfeldtheorie in einer Nussschale“ und, wenn Sie eine strengere Erzählung bevorzugen, Peskin & Shroeder zu lesen.

(1) Das Schlüsselobjekt einer Quantenfeldtheorie ist die Korrelationsfunktion. Beispielsweise ist es im einfachsten Fall das Objekt

⟨ ϕ ( X ) ϕ ( j ) ⟩ ,
wobei Klammern die Mittelung über alle möglichen Konfigurationen von Feldern bedeuten. Wenn Sie das Pfadintegral in der ersten Zeile aufschreiben, schlagen Sie einen Weg vor, alle diese Korrelatoren zu berechnen (deren explizite Berechnung ist die viel subtilere Frage). Grob gesagt steckt die gesamte Information einer Theorie in ihrer Handlung S . Und der Pfadintegral-Ansatz ermöglicht es Ihnen, die Ausdrücke für jeden Korrelator in Ihrer Theorie aufzuschreiben (im Allgemeinen gibt es viele versteckte Details und subtile Fragen).

(2) Ja, das Wegintegral ist die Übergangsamplitude. Zum Beispiel können wir den Prozess in der Skalarfeldtheorie von betrachten ϕ ϕ → ϕ ϕ , was die Streuung zweier Skalare bedeutet. Um die Amplitude zu finden, sollten Sie (grob gesagt, ich lasse viele Details aus!) rechnen

⟨ ϕ ( X 1 ) ϕ ( X 2 ) ϕ ( X 3 ) ϕ ( X 4 ) ⟩ ,
was bedeutet, dass die Anfangskoordinaten der Teilchen sind X 1 & X 2 , wohingegen Endkoordinaten sind X 3 & X 4 .

Es ist keine strenge und vollständige Antwort, sondern nur eine Skizze mit Empfehlungen. Hoffe das hilft.

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