Quantisierendes EM-Feld

Nur weil$F^{\mu\nu}$zwei Indizes hat, bedeutet nicht, dass es ein Spin-2-Teilchen darstellt. Beachten Sie, dass die Metrik$g^{\mu\nu}$ist ein symmetrisches zwei indiziertes Objekt, während die EM-Feldstärke$F^{\mu\nu}$ist antisymmetrisch. In der Tat die Metrik$g^{\mu\nu}$ist analog zum Potential$A^\mu$in EM und die Feldstärke der Gravitation ist der vierindizierte Riemann-Tensor$R_{\mu\nu\rho\lambda}$.

Welchen Spin das Feld darstellt, hängt von den Symmetrien der Indizes und den Feldgleichungen ab, denen es gehorcht. Insbesondere die physikalischen Freiheitsgrade eines masselosen Spinfeldes$(A/2,B/2)$kann in gepunkteten und undotierten Indizes geschrieben werden$G_{\alpha_1,\dots,\alpha_A,\dot\beta_1,\dots,\dot\beta_B}$völlig symmetrisch in den gepunkteten und undotierten Indizes. Um eine Vertretung der Poincare-Gruppe zu sein, muss sie die zusätzlichen Bedingungen erfüllen

$$\begin{align} \partial^{\gamma\dot\gamma}G_{\alpha_1,\dots,\alpha_{A-1}\gamma,\dot\beta_1,\dots,\dot\beta_B} &= 0 \\ \partial^{\gamma\dot\gamma}G_{\alpha_1,\dots,\alpha_{A},\dot\beta_1,\dots,\dot\beta_{B-1}\dot\gamma} &=0 \ . \end{align}$$ Diese ergänzenden Bedingungen implizieren, dass jede Komponente von $G$erfüllt die Klein-Gordon-Gleichung. (Die einzige Ausnahme ist der skalare Fall, in dem es keine zusätzlichen Bedingungen gibt, weil es keine Indizes gibt. In diesem Fall gibt es nur die KG-Gleichung $\Box G = 0$.) Es wird auch gezeigt, dass diese Bedingungen implizieren, dass das Feld eine bestimmte Helizität von hat $(A-B)/2$und in einem solchen Bereich gibt es nur einen Freiheitsgrad. Physikalische Felder bestehen aus der Summe zweier solcher Felder mit entgegengesetzter Helizität

Dies gilt eindeutig für die EM-Feldstärke$F_{\mu\nu}$wenn im Formular geschrieben$F_{\alpha\beta\dot\alpha\dot\beta}=(\sigma^\mu)_{\alpha\dot\alpha}(\sigma^\nu)_{\beta\dot\beta}F_{\mu\nu}=2\varepsilon_{\alpha\beta}\bar{F}_{\dot\alpha\dot\beta} + 2\varepsilon_{\dot\alpha\dot\beta}F_{\alpha\beta}$, also zerfällt die Feldstärke in die Summe zweier masseloser Helizität tragender Felder$\pm1$.

Es gibt eine gute Beschreibung der Felddarstellungen der Poincare-Gruppe in Abschnitt 1.8 von Ideas and Methods in Superspace and Supergravity . Abschnitt 1.8.3 befasst sich mit den masselosen Darstellungen, die in den beiden in Ihrer Frage angesprochenen Fällen anwendbar sind. Abschnitt 1.8.4 hat die Beispiele für masselosen Skalar, Spin-1/2, EM (Spin-1), Spin-3/2 und linearisierte Gravitation (Spin-2).

Es ist möglich, ein freies Quantenfeld auf der Grundlage des EM-Felds statt auf der Grundlage des EM-Potentials zu konstruieren, aber wenn wir dies tun, können wir die minimale Kopplung nicht verwenden, um eine Wechselwirkung zwischen einem Spinorfeld und dem EM-Feld zu definieren. Welches alternative Modell auch immer man konstruiert, es müsste der QED empirisch sehr ähnlich sein. Das ist ziemlich umwerfend, glaube ich, obwohl ich mich aktiv mit algebraischen Konstruktionen auf diesem allgemeinen Gebiet beschäftigt habe.

Für das EM-Feld können die Kommutierungsbeziehungen für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren dargestellt werden als

$$[a_{\mu\alpha}(x),a_{\nu\beta}^\dagger(y)]=\int k_{[\mu}g_{\alpha][\nu}k_{\beta]} 2\pi\delta(k^2)\theta(k_0)e^{-ik\cdot (x-y)}\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4},$$ Antisymmetrierung auf der $\mu,\alpha$Und $\nu,\beta$Komponenten, im Gegensatz zum masselosen Klein-Gordon-Freifeld, wo es keine Raum-Zeit-Indizes gibt, für die $$[a(x),a^\dagger(y)]=\int 2\pi\delta(k^2)\theta(k_0)e^{-ik\cdot (x-y)}\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4}.$$ Die erste Gleichung erhält man, indem man die Ableitungen der Kommutierungsbeziehungen des EM-Potentials nimmt. Man sieht es nicht viel in der Literatur, AFAIK, obwohl eine eng verwandte Aussage bei R. Menikoff und DH Sharp, J. Math. Phys. 18 (1977) 471.

Beachten Sie vielleicht die größere Einfachheit der EM-Feld-Kommutationsbeziehungen, die bereits positiv semidefinit auf dem Raum der Testfunktionen sind, wie hier angegeben, ohne dass der Gupta-Bleuler oder andere Maschinen erforderlich sind, um sicherzustellen, dass es keinen negativen Normsektor gibt. Es kann sein, dass dieser Ansatz in der Quantenoptik oder in anderer Physik hilfreich sein könnte, die Wechselwirkungen nicht durch minimale Kopplung implementiert, aber aufgrund dieser Vereinfachung, wieder AFAIK, glaube ich nicht, dass er viel verwendet wird. Ich wäre etwas überrascht, wenn es oft verwendet wird, da die Vereinfachung eher konzeptionell als hilfreich für die Berechnung ist und immer ein gewisser Druck besteht, herkömmliche Notationen und Formalismen zu verwenden.